物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 24 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 25 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 21 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 1.3 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 2 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 1500 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 8 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 23 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1100 kgd = 23 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.74 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 1.74 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一颗以 150 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 150 m/sM = 2.5 kgk = 100 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

频率为 500 Hz 的声源以 34 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −20 cms = 15 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/6 = 3.333 s

答案

t = 3.333 s

2.运动学

答案: y = 19.68 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 25/24 = 1.042 s

相遇高度

y = 24·1.042 − ½·9.81·1.042² = 19.68 m

答案

y = 19.68 m

3.牛顿定律

答案: F = 88.41 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 56.27 + 32.14 = 88.41 N

答案

F = 88.41 N

4.牛顿定律

答案: T = 39.99 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 25.22 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.515 N

系统的加速度

a = (49.05 − 25.22 − 7.515)/9 = 1.812 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5·(9.81 − 1.812) = 39.99 N

答案

T = 39.99 N

5.抛体运动

答案: H = 39.14 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27.71 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 27.71²/(2·9.81) = 39.14 m

答案

H = 39.14 m

6.抛体运动

答案: v = 27.12 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21·cos 55° = 12.05 m/s

v_y0 = 21·sin 55° = 17.2 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(17.2² + 2·9.81·15) = 24.29 m/s

落水速度

v = √(12.05² + 24.29²) = 27.12 m/s

答案

v = 27.12 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: T = 2.148 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.4·sin 35° = 0.803 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.803·9.81·tan 35°) = 2.349 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.803/2.349 = 2.148 s

答案

T = 2.148 s

8.圆周运动

答案: T = 95 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·7²/1.3 = 19.62 + 75.38 = 95 N

答案

T = 95 N

9.功和能

答案: h = 0.3058 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·1500·0.02² = 0.3 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.3/0.981 = 0.3058 m

答案

h = 0.3058 m

10.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 4) = 78.48 m²/s²

v = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 7.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·6 = 1.2 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 1)·6 = 7.2 m/s

答案

v′₂ = 7.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.06 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·23) = 17.77 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·17.77/1900 = 28.06 m/s

答案

v₁ = 28.06 m/s

(101 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 24.78 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/1.74² = 24.78 m/s²

答案

g = 24.78 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: A = 11.36 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·150/2.512 = 0.7166 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(100/2.512) = 6.309 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7166/6.309 = 0.1136 m = 11.36 cm

答案

A = 11.36 cm

15.波、声与光学

答案: f′ = 454.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 0)/(343 + 34)

f′ = 454.9 Hz

答案

f′ = 454.9 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 2.4 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/40 → d_i1 = 17.14 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 15 − 17.14 = −2.143 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−2.143) → d_i2 = 2.4 cm

答案

d_i2 = 2.4 cm

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