物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 4.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 8 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 22 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 70°h_roof = 22 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 90 km/h 通过半径为 120 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 120 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个半径为 260 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 260 mθ = 20°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 15 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 12 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 21 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1200 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 2 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.9 kg 的物体连在 k = 250 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.9 kgk = 250 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其第 2 次谐波的频率 f₂。

v = 343 m/sn = 2L = 0.5 m

f₂ = Hz

16.波、声与光学困难

一个每毫米 300 条刻线的光栅，在偏离直进方向 21.4° 处出现某条谱线的第 3 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 300 mm⁻¹θ₃ = 21.4°m = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 6.667 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7.5) = 6.667 m

答案

s = 6.667 m

2.运动学

答案: h_max = 50.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 30 + 20.39 = 50.39 m

答案

h_max = 50.39 m

3.牛顿定律

答案: T = 35.32 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (4.5 − 3)·9.81/(4.5 + 3) = 1.962 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 1.962) = 35.32 N

答案

T = 35.32 N

4.牛顿定律

答案: T = 55.82 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 33.17 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (78.48 − 33.17 − 0)/16 = 2.832 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 2.832) = 55.82 N

答案

T = 55.82 N

5.抛体运动

答案: t = 2.004 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6.883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9.83 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.83/9.81 = 2.004 s

答案

t = 2.004 s

6.抛体运动

答案: x = 57.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 10.94 m/s, v_y = 30.07 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

22 = 30.07·t − 4.905·t²

t = (30.07 + √(30.07² − 2·9.81·22))/9.81 = 5.281 s

水平距离

x = v_x·t = 10.94·5.281 = 57.8 m

答案

x = 57.8 m

7.圆周运动

答案: θ = 27.96 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 90/3.6 = 25 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(120·9.81) = 0.5309

θ = 27.96°

答案

θ = 27.96°

8.圆周运动

答案: v_max = 43.6 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(260·9.81·0.6239/0.8371) = 43.6 m/s

答案

v_max = 43.6 m/s

(157 km/h)

9.功和能

答案: v = 9.185 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 9.185 m/s

答案

v = 9.185 m/s

10.功和能

答案: v = 1.463 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·2 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.3·78.48·2 = 47.09 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 11.77 → v = √(2·11.77/11) = 1.463 m/s

答案

v = 1.463 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 3.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·5 = 3.333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·5 = 8.333 m/s

答案

v′₁ = 3.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 13.48 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1200·12 = 14400 kg·m/s

p_y = 1800·21 = 37800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40450/3000 = 13.48 m/s

答案

v′ = 13.48 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.883 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/2² = 8.883 m/s²

答案

g = 8.883 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 7.051 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(250/3.9) = 8.006 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.11·8.006² = 7.051 m/s²

答案

a_max = 7.051 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₂ = 686 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.5/2 = 0.5 m

频率

f = v/λ = 343/0.5 = 686 Hz

答案

f₂ = 686 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 405.4 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 3.333 × 10⁻⁶·sin 21.4°/3 = 405.4 nm

答案

λ = 405.4 nm

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