物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 1.3 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 50°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.3 kgr = 1.2 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 5° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 5°F_r = 200 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 31 m/s 水平运动的 8 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 65 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 8 kgu = 31 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 65 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 20 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的 2.2 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 8 cm 时的速度 v。

m = 2.2 kgk = 230 N/mA = 10 cmx = 8 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.2 kg 的物体连在 k = 450 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.2 kgk = 450 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度朝频率为 440 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 30 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 30 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 70.44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·1.3 = 26 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m

合计

d = 26 + 44.44 = 70.44 m

答案

d = 70.44 m

2.运动学

答案: t = 3.361 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.361 s

答案

t = 3.361 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.972 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答案

a = 1.972 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 8.117 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·7.454) = 8.117 m

答案

d = 8.117 m

5.抛体运动

答案: H = 2.497 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 30° = 12.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 30° = 7 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

答案

H = 2.497 m

6.抛体运动

答案: x = 35.16 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7.713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9.193 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 9.193·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.193 + √(84.5 + 1177))/9.81 = 4.558 s

水平距离

x = v_x·t = 7.713·4.558 = 35.16 m

答案

x = 35.16 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.7 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·120) = 21.7 m/s

答案

v_max = 21.7 m/s (78.12 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 30.09 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·4²/1.2 = 12.75 + 17.33 = 30.09 N

答案

T = 30.09 N

9.功和能

答案: P = 28.65 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N

F = 1710 + 200 = 1910 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1910·15 = 28650 W = 28.65 kW

答案

P = 28.65 kW

10.功和能

答案: x = 32.85 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.1·4) = 43.16 J

最大压缩量

½kx² = 43.16 → x = √(2·43.16/800) = 0.3285 m = 32.85 cm

答案

x = 32.85 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 26.14 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 8·31 = 248 kg·m/s

碰撞后的动量

248 = 1·65 + 7·v′₂

v′₂ = (248 − 65)/7 = 26.14 m/s

答案

v′₂ = 26.14 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 14 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(20 + 20) = 14 N·s

答案

J = 14 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.6135 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(230/2.2) = 10.22 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.22·√(0.1² − 0.08²) = 0.6135 m/s

答案

v = 0.6135 m/s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 270 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(450/0.2) = 47.43 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.12·47.43² = 270 m/s²

答案

a_max = 270 m/s²

15.波、声与光学

答案: f′ = 459.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 459.2 Hz

答案

f′ = 459.2 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = 30 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/30

d_i = 30 cm

光线图

镜前的实像

答案

d_i = 30 cm

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