物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1500 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 11.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 22 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 11.5 m/sd = 22 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 1.7 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 15° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.7 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一辆 3.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 44.1 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 9 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 3.5 kgh = 44.1 mR = 9 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 45°μ = 0.25d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 0.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.9 kg 的物体连在 k = 200 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.9 kgk = 200 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 70 dB。忽略吸收和反射，求 20 m 处的声级 β₂。

β₁ = 70 dBr₁ = 2 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凸面镜前 6 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 6 cmR = 24 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: v = 90.83 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·1500) = 90.83 m/s

答案

v = 90.83 m/s

(327 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 40.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 35 + 5.097 = 40.1 m

答案

h_max = 40.1 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3064

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·22) = 3.006 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.006/9.81 = 0.3064

答案

μ = 0.3064

4.牛顿定律

答案: a = 4.578 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/7.5 = 4.578 m/s²

答案

a = 4.578 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 31.32 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 30°) = 31.32 m/s

答案

v₀ = 31.32 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.9 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 14·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14 + √(196 + 392.4))/9.81 = 3.9 s

答案

t = 3.9 s

7.圆周运动

答案: T = 2.571 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.7·sin 15° = 0.44 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.44·9.81·tan 15°) = 1.075 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.44/1.075 = 2.571 s

答案

T = 2.571 s

8.圆周运动

答案: N_top = 164.8 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(44.1 − 2·9) = 512.1 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 3.5·512.1/9 − 34.34 = 164.8 N

答案

N_top = 164.8 N

9.功和能

答案: W_f = 24.28 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.7071 = 6.937 N

F = μN = 0.25·6.937 = 1.734 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.734·14 = 24.28 J

答案

W_f = 24.28 J

10.功和能

答案: v = 8.578 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.3·2.5) = 18.39 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.75) = 8.578 m/s

答案

v = 8.578 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·7 = 1 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·7 = 8 m/s

答案

v′₂ = 8 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 51.95 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1500·18 = 27000 kg·m/s

p_y = 1500·23 = 34500 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.278 → θ = 51.95°

答案

θ = 51.95°

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2013 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.9/2π)² = 0.2013 m

答案

L = 0.2013 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 4.138 m/s²

角频率

ω = √(200/2.9) = 8.305 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.06·8.305² = 4.138 m/s²

答案

a_max = 4.138 m/s²

15.波、声与光学

答案: β₂ = 50 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/20)² = 0.01

新的声级

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.01) = 50 dB

答案

β₂ = 50 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: m = 0.6667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/6

d_i = −4 cm

放大率

m = −(−4)/6 = 0.6667

答案

m = 0.6667

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