物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 7 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 70 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 26.25 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 1.5 kgh = 26.25 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 31 m/s 水平运动的 7 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 37 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 7 kgu = 31 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 37 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 17 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 310 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.8 kgk = 310 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 40 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 40 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 25 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 33.33 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6) = 33.33 m

答案

s = 33.33 m

2.运动学

答案: d = 18.57 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 686 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·686))/(2·4.905) = 1.946 s

深度

d = ½·9.81·1.946² = 18.57 m

答案

d = 18.57 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.051 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 40.99 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (68.67 − 40.99 − 0)/13.5 = 2.051 m/s²

答案

a = 2.051 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 16 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·70/36² = 0.5299

相角

2θ = 32° → θ = 16°

答案

θ = 16°

另一个解为 90° − θ = 74°。

6.抛体运动

答案: x = 55.37 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 15.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.32 + √(234.7 + 490.5))/9.81 = 4.307 s

水平距离

x = v_x·t = 12.86·4.307 = 55.37 m

答案

x = 55.37 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·75) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 117.7 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·26.25 = 515 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 1.5·515/7.5 + 14.71 = 117.7 N

答案

N_bottom = 117.7 N

9.功和能

答案: h = 5.505 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·1500·0.06² = 2.7 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.7/0.4905 = 5.505 m

答案

h = 5.505 m

10.功和能

答案: v = 9.132 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.25·3) = 41.69 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.25) = 9.132 m/s

答案

v = 9.132 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 26.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 7·31 = 217 kg·m/s

碰撞后的动量

217 = 3·37 + 4·v′₂

v′₂ = (217 − 111)/4 = 26.5 m/s

答案

v′₂ = 26.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 648 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(10 + 17) = 16.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 16.2/0.025 = 648 N

答案

F_avg = 648 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.269 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

答案

T = 1.269 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 3.263 m/s²

角频率

ω = √(310/3.8) = 9.032 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.04·9.032² = 3.263 m/s²

答案

a_max = 3.263 m/s²

15.波、声与光学

答案: d_i = 17.14 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/40

d_i = 17.14 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 17.14 cm

16.波、声与光学

答案: f″ = 46289 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 25)/343 = 42915 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 25) = 46289 Hz

答案

f″ = 46289 Hz

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