物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 11 s，然后匀速行驶 20 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 11 st₂ = 20 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.5 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的球系在长 0.6 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.4 kgr = 0.6 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 40°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 3 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 8 m/sv_out = 12 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.4 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.84 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.4 mT = 5.84 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 1.7 kg 的物体连在 k = 90 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.7 kgk = 90 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 12 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 450 nmd = 0.3 mmL = 3 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.04 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/5.5 = 4.04 s

答案

t = 4.04 s

2.运动学

答案: t = 36.5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·11 = 11 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 11/2 = 5.5 s

总时间

t = 11 + 20 + 5.5 = 36.5 s

答案

t = 36.5 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.647 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7 − 2.5)·9.81/(7 + 2.5) = 4.647 m/s²

答案

a = 4.647 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 33.59 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 17.17)/11.5 = 2.346 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.346 + 17.17 = 33.59 N

答案

T = 33.59 N

5.抛体运动

答案: x = 18.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.47/9.81 = 2.338 s

水平距离

x = v_x·t = 8.03·2.338 = 18.77 m

答案

x = 18.77 m

6.抛体运动

答案: H = 71.83 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 35·sin 60° = 30.31 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 30.31²/(2·9.81) = 46.83 m

离地面的高度

H = 25 + 46.83 = 71.83 m

答案

H = 71.83 m

7.圆周运动

答案: ω = 3.057 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3.5)) = 3.057 rad/s

答案

ω = 3.057 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 188.6 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·0.6 = 86.71 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·86.71/0.6 − 1.4·9.81 = 188.6 N

答案

T_top = 188.6 N

9.功和能

答案: T = 28.8 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 40°) = 13.77 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·13.77/3 = 28.8 N

答案

T = 28.8 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 28.8 N。

10.功和能

答案: v = 4.698 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·3 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.25·49.05·3 = 36.79 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 110.4 → v = √(2·110.4/10) = 4.698 m/s

答案

v = 4.698 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 72193 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·14/3000 = 6.067 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·14² = 127400 J

K_after = ½·3000·6.067² = 55207 J

损失的能量

ΔK = 127400 − 55207 = 72193 J

答案

ΔK = 72193 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 125 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(12 + 8) = 5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 5/0.04 = 125 N

答案

F_avg = 125 N

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/5.84² = 1.621 m/s²

答案

g = 1.621 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 7.941 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(90/1.7) = 7.276 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.15·7.276² = 7.941 m/s²

答案

a_max = 7.941 m/s²

15.波、声与光学

答案: d_i = 60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/12

d_i = 60 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 60 cm

16.波、声与光学

答案: y₂ = 9 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·3/(0.3 × 10⁻³) = 4.5 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·4.5 = 9 mm

答案

y₂ = 9 mm

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