物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)3.704 s16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 5 m/s5 m

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 10 kg

一个 10 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 2.5 kg4 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 2.5 kgm2 = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
15 my = ?v0​ = 22 m/s25°

一个球从水平地面以 22 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 15 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 22 m/sθ = 25°x = 15 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
8 mv0​ = 29 m/s70°x = ?

一个球从地面以 29 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 70°hroof = 8 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
θ = ?指向圆心60 km/h

一位道路工程师希望汽车以 60 km/h 通过半径为 80 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 80 mv = 60 km/hg = 9.81 m/s²
θ = °
8.圆周运动困难
r = 0.8 mv = 6 m/s

一个 1.4 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 0.8 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
90°L = 1 m1 kg

一个 1 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1 mθ = 90°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
5 kg2 kgμ = 0.3d = 1.5 m

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m1 = 5 kgm2 = 2 kgμ = 0.3d = 1.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
600 kg15 m/s1600 kg

一辆以 15 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 600 kgv1 = 15 m/sm2 = 1600 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
26 m/s17 m/s

一个 0.3 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.3 kgvin = 26 m/svout = 17 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = 0.9 mT = 3.09 s

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.09 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 3.09 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
3.9 kgk = 170 N/mA = 9 cm

一个 3.9 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 3.9 kgk = 170 N/mA = 9 cm
vmax = m/s
15.波、声与光学中等
L = 0.4 mn = 3

两端固定的弦长 0.4 m；波在其上以 80 m/s 传播。求其第 3 次谐波的频率 f3。

v = 80 m/sn = 3L = 0.4 m
f3 = Hz
16.波、声与光学困难
Fdo​ = 15 cmR = 24 cm

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 15 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 15 cmR = 24 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 30.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4.5) = 30.86 m

答案

s = 30.86 m
2.运动学

答案: t = 1.641 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 5·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 5·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.641 s

答案

t = 1.641 s
3.牛顿定律

答案: a = 3.257 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答案

a = 3.257 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (39.24 − 7.357)/6.5 = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²
5.抛体运动

答案: y = 4.219 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 22·cos 25° = 19.94 m/s
t = x/vx = 15/19.94 = 0.7523 s

此时的高度

y = 9.298·0.7523 − ½·9.81·0.7523² = 4.219 m

答案

y = 4.219 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 52.02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 9.919 m/s, vy = 27.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 27.25·t − 4.905·t²
t = (27.25 + √(27.25² − 2·9.81·8))/9.81 = 5.245 s

水平距离

x = vx·t = 9.919·5.245 = 52.02 m

答案

x = 52.02 m
7.圆周运动

答案: θ = 19.49 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 16.67²/(80·9.81) = 0.3539
θ = 19.49°

答案

θ = 19.49°
8.圆周运动

答案: T = 76.73 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.4·9.81 + 1.4·6²/0.8 = 13.73 + 63 = 76.73 N

答案

T = 76.73 N
9.功和能

答案: T = 29.43 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 90°) = 19.62 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N
T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·19.62/1 = 29.43 N

答案

T = 29.43 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 29.43 N。

10.功和能

答案: v = 1.45 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·1.5 = 29.43 J
μ·m₁g·d = 0.3·49.05·1.5 = 22.07 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 7.358 → v = √(2·7.358/7) = 1.45 m/s

答案

v = 1.45 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK = 49091 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 600·15/2200 = 4.091 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·600·15² = 67500 J
Kafter = ½·2200·4.091² = 18409 J

损失的能量

ΔK = 67500 − 18409 = 49091 J

答案

ΔK = 49091 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 645 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(17 + 26) = 12.9 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 12.9/0.02 = 645 N

答案

Favg = 645 N
13.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/3.09² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²
14.弹簧与单摆

答案: vmax = 0.5942 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(170/3.9) = 6.602 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.09·6.602 = 0.5942 m/s

答案

vmax = 0.5942 m/s
15.波、声与光学

答案: f3 = 300 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.4/3 = 0.2667 m

频率

f = v/λ = 80/0.2667 = 300 Hz

答案

f3 = 300 Hz
16.波、声与光学

答案: di = 60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 12 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/12 − 1/15
di = 60 cm
F15 cmf = 12 cm

光线图

镜前的实像

答案

di = 60 cm

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