物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 12 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 140 Nθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 20° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 20°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 110 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 110 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 90 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 90 mθ = 20°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 800 kgm₂ = 1000 kgd = 9 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体被沿正方向拉开 6 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.75 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.5 kgk = 250 N/mA = 6 cmt = 0.75 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 1.4 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.4 kgk = 150 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个高 3 cm 的物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 3 cmd_o = 50 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.2 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 532 nmd = 0.5 mmL = 1.2 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 48.08 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6.5) = 48.08 m

答案

s = 48.08 m

2.运动学

答案: h_max = 27.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

离地面的高度

h_max = 20 + 7.339 = 27.34 m

答案

h_max = 27.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.121 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 140·sin 30° = 273.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 121.2 − 82.01

a = 39.24/35 = 1.121 m/s²

答案

a = 1.121 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 24.52 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 7.357)/9 = 5.723 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·5.723 + 7.357 = 24.52 N

答案

T = 24.52 N

5.抛体运动

答案: y = 1.815 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 18·cos 20° = 16.91 m/s

t = x/v_x = 8/16.91 = 0.473 s

此时的高度

y = 6.156·0.473 − ½·9.81·0.473² = 1.815 m

答案

y = 1.815 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: α = 66.18 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y0 = 24·sin 50° = 18.39 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(18.39² + 2·9.81·45) = 34.94 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 34.94/15.43 → α = 66.18°

答案

α = 66.18°

7.圆周运动

答案: v_max = 20.78 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·110) = 20.78 m/s

答案

v_max = 20.78 m/s (74.79 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 25.65 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(90·9.81·0.6239/0.8371) = 25.65 m/s

答案

v_max = 25.65 m/s

(92.35 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.3262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.8/2.453 = 0.3262 m

答案

h = 0.3262 m

10.功和能

答案: v = 2.05 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·3 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.3·49.05·3 = 44.14 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 14.72 → v = √(2·14.72/7) = 2.05 m/s

答案

v = 2.05 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·12 = 6 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·12 = 18 m/s

答案

v′₁ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.74 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·9) = 11.89 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·11.89/800 = 26.74 m/s

答案

v₁ = 26.74 m/s

(96.27 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = 5.991 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(250/3.5) = 8.452 rad/s

ω·t = 8.452·0.75 = 6.339 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(6.339) = 5.991 cm

答案

x = 5.991 cm

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 17.14 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(150/1.4) = 10.35 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·10.35² = 17.14 m/s²

答案

a_max = 17.14 m/s²

15.波、声与光学

答案: h_i = −2 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/50

d_i = 33.33 cm

放大率与像高

m = −33.33/50 = −0.6667

h_i = −0.6667·3 = −2 cm

答案

h_i = −2 cm

16.波、声与光学

答案: y₂ = 2.554 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.2/(0.5 × 10⁻³) = 1.277 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·1.277 = 2.554 mm

答案

y₂ = 2.554 mm

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