物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 0.5 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 22 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 40 mv_0B = 22 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 7 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 7 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 9.5 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 15 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.7 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 1.7 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的球系在长 1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.6 kgr = 1 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 4 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 19 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 13 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 400 N/m 弹簧上的 2.7 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 2.7 kgk = 400 N/mA = 13 cmx = 6 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 2000 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 400 m/sM = 1 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 60 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 60 cmf = 20 cm

m =

16.波、声与光学困难

一个每毫米 1200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 46.1° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 46.1°m = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 35 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·0.5 = 10 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

合计

d = 10 + 25 = 35 m

答案

d = 35 m

2.运动学

答案: t = 1.818 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 40/22 = 1.818 s

答案

t = 1.818 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.486 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 7)·9.81/(9.5 + 7) = 1.486 m/s²

答案

a = 1.486 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.059 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 33.55 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (93.2 − 33.55 − 0)/19.5 = 3.059 m/s²

答案

a = 3.059 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 38.76 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27.58 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 27.58²/(2·9.81) = 38.76 m

答案

H = 38.76 m

6.抛体运动

答案: t = 3.912 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 20° = 14.1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 20° = 5.13 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 5.13·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.13 + √(26.32 + 1079))/9.81 = 3.912 s

答案

t = 3.912 s

7.圆周运动

答案: ω = 3.397 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·1.7)) = 3.397 rad/s

答案

ω = 3.397 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 43.17 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·1 = 81.76 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.6·81.76/1 − 0.6·9.81 = 43.17 N

答案

T_top = 43.17 N

9.功和能

答案: d = 94.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.6·9.81) = 94.39 m

答案

d = 94.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 2.606 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.25·78.48·1.5 = 29.43 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 44.15 → v = √(2·44.15/13) = 2.606 m/s

答案

v = 2.606 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 592.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 4)·2.215/0.015 = 592.8 m/s

答案

v = 592.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 59.69 °

动量分量

p_x = 800·19 = 15200 kg·m/s

p_y = 2000·13 = 26000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.711 → θ = 59.69°

答案

θ = 59.69°

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.404 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(400/2.7) = 12.17 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.17·√(0.13² − 0.06²) = 1.404 m/s

答案

v = 1.404 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 4.461 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·400/1.005 = 1.99 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1.005) = 44.61 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.99/44.61 = 0.04461 m = 4.461 cm

答案

A = 4.461 cm

15.波、声与光学

答案: m = −0.5

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/60

d_i = 30 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −30/60 = −0.5

答案

m = −0.5

16.波、声与光学

答案: λ = 600.5 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 8.333 × 10⁻⁷·sin 46.1°/1 = 600.5 nm

答案

λ = 600.5 nm

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