物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 26 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 20 mv_0B = 26 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.6 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 1.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3.5 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 17 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 1.3 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.1d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 19 m/sv_out = 12 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3 kgk = 220 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

频率为 440 Hz、速度为 20 m/s 的声源与速度为 20 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 15 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 39.68 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3.5) = 39.68 m

答案

s = 39.68 m

2.运动学

答案: t = 0.7692 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 20/26 = 0.7692 s

答案

t = 0.7692 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3902

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·1.6) = 3.828 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.828/9.81 = 0.3902

答案

μ = 0.3902

4.牛顿定律

答案: T = 16.99 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 34.34 N

m₁·g·sin θ = 6.219 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.334 N

系统的加速度

a = (34.34 − 6.219 − 3.334)/5 = 4.956 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 3.5·(9.81 − 4.956) = 16.99 N

答案

T = 16.99 N

5.抛体运动

答案: x = 114.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 60° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 60° = 31.18 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·31.18/9.81 = 6.356 s

水平距离

x = v_x·t = 18·6.356 = 114.4 m

答案

x = 114.4 m

6.抛体运动

答案: t = 2.813 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 45° = 12.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 45° = 12.02 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 12.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.02 + √(144.5 + 98.1))/9.81 = 2.813 s

答案

t = 2.813 s

7.圆周运动

答案: v_max = 16.57 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·70) = 16.57 m/s

答案

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 11.81 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·8²/1.3 = 1.962 + 9.846 = 11.81 N

答案

T = 11.81 N

9.功和能

答案: v = 14.99 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 14.99 m/s

答案

v = 14.99 m/s

10.功和能

答案: x = 10.62 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.1·3.5) = 28.2 J

最大压缩量

½kx² = 28.2 → x = √(2·28.2/5000) = 0.1062 m = 10.62 cm

答案

x = 10.62 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −7.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2)/(0.5 + 2)·12 = −7.2 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2)·12 = 4.8 m/s

答案

v′₁ = −7.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 155 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(12 + 19) = 7.75 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 7.75/0.05 = 155 N

答案

F_avg = 155 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.487 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

答案

L = 0.487 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 6.6 m/s²

角频率

ω = √(220/3) = 8.563 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.09·8.563² = 6.6 m/s²

答案

a_max = 6.6 m/s²

15.波、声与光学

答案: f′ = 494.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 20)/(343 − 20)

f′ = 494.5 Hz

答案

f′ = 494.5 Hz

16.波、声与光学

答案: f″ = 18324 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 15)/343 = 19125 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 15) = 18324 Hz

答案

f″ = 18324 Hz

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