物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 15 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 14 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s、与水平方向成 30° 的角度朝 64 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 30 m/sθ = 30°x = 64 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 105 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 105 Nθ = 20°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 13 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.6 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.6 mT = 1.6 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.8 s，振幅为 19 cm。它从最大位移 19 cm 处运动到位移 14.25 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.8 sA = 19 cmx = 14.25 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.8 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 15 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 30.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4.5) = 30.86 m

答案

s = 30.86 m

2.运动学

答案: t = 0.6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 15/25 = 0.6 s

答案

t = 0.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 12.48 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 14.71 N

m₁·g·sin θ = 8.44 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.808 N

系统的加速度

a = (14.71 − 8.44 − 1.808)/3 = 1.489 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 1.5·(9.81 − 1.489) = 12.48 N

答案

T = 12.48 N

5.抛体运动

答案: y = 7.186 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 30·cos 30° = 25.98 m/s

t = x/v_x = 64/25.98 = 2.463 s

此时的高度

y = 15·2.463 − ½·9.81·2.463² = 7.186 m

答案

y = 7.186 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 2.919 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 9.177·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 294.3))/9.81 = 2.919 s

答案

t = 2.919 s

7.圆周运动

答案: v_max = 20.42 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·85) = 20.42 m/s

答案

v_max = 20.42 m/s (73.51 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: h = 1.019 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·400·0.05² = 0.5 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.5/0.4905 = 1.019 m

答案

h = 1.019 m

10.功和能

答案: v = 2.836 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 50.33 N

μ·mg·cos θ = 34.57 N

功–能关系

½mv² = (105 − 84.9)·3 = 60.31 J

v = √(2·60.31/15) = 2.836 m/s

答案

v = 2.836 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.364 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·4 = 0.3636 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·4 = 4.364 m/s

答案

v′₂ = 4.364 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 13.95 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(18 + 13) = 13.95 N·s

答案

J = 13.95 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 24.67 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/1.6² = 24.67 m/s²

答案

g = 24.67 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.3221 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s

求解时间

0.75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.75) = 0.7227 rad

t = 0.7227/2.244 = 0.3221 s

答案

t = 0.3221 s

15.波、声与光学

答案: f₁ = 107.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.8/1 = 3.2 m

频率

f = v/λ = 343/3.2 = 107.2 Hz

答案

f₁ = 107.2 Hz

16.波、声与光学

答案: f″ = 43659 Hz

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 15)/343 = 41749 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 15) = 43659 Hz

答案

f″ = 43659 Hz

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