物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 10 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 10 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 31 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 100 km/h 通过半径为 310 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 310 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 23 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.9 kg 的物体连在 k = 490 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.9 kgk = 490 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光垂直照射在每毫米 100 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 100 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 56.25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·8) = 56.25 m

答案

s = 56.25 m

2.运动学

答案: y = 16.03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 50/19 = 2.632 s

相遇高度

y = 19·2.632 − ½·9.81·2.632² = 16.03 m

答案

y = 16.03 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 9.81)/10 = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 9.981 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·10/sin 100°) = 9.981 m/s

答案

v₀ = 9.981 m/s

6.抛体运动

答案: α = 48.62 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 31·cos 20° = 29.13 m/s

v_y0 = 31·sin 20° = 10.6 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10.6² + 2·9.81·50) = 33.07 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 33.07/29.13 → α = 48.62°

答案

α = 48.62°

7.圆周运动

答案: θ = 14.24 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(310·9.81) = 0.2537

θ = 14.24°

答案

θ = 14.24°

8.圆周运动

答案: T = 8.343 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·3²/0.5 = 2.943 + 5.4 = 8.343 N

答案

T = 8.343 N

9.功和能

答案: d = 45.51 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.7·9.81) = 45.51 m

答案

d = 45.51 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: d = 5.812 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21.6/(4.905·(0.6428 + 0.15·0.766)) = 5.812 m

答案

d = 5.812 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.46 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 2)/(4.5 + 2)·9 = 3.462 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2)·9 = 12.46 m/s

答案

v′₂ = 12.46 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 20.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(14 + 23) = 20.35 N·s

答案

J = 20.35 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.416 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.9/9.81) = 3.416 s

答案

T = 3.416 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 11.31 m/s²

角频率

ω = √(490/3.9) = 11.21 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.09·11.21² = 11.31 m/s²

答案

a_max = 11.31 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₅ = 428.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0.8 m

频率

f = v/λ = 343/0.8 = 428.8 Hz

答案

f₅ = 428.8 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 3.629 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.0633

θ = 3.629°

答案

θ₁ = 3.629°

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