物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 23 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 23 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 40 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 125 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 1 kgF = 125 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 29 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.7 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 40°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 140 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 140 Nθ = 20°μ = 0.25d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 9 m/s 行驶的 900 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 900 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 15 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 120 N/m 弹簧上的 2.2 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.2 kgk = 120 N/mA = 12 cmt = 0.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 350 m/sM = 0.5 kgk = 500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 486 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 800 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 211.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/5 = 9.2 s

距离

d = v·t = 23·9.2 = 211.6 m

答案

d = 211.6 m

此时警车的速度为 2v = 46 m/s。

2.运动学

答案: y = 29.23 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 40/27 = 1.481 s

相遇高度

y = 27·1.481 − ½·9.81·1.481² = 29.23 m

答案

y = 29.23 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 8.421 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 32.37)/11 = 8.421 m/s²

答案

a = 8.421 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 19.98 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9.899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9.899 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.899/9.81 = 2.018 s

水平距离

x = v_x·t = 9.899·2.018 = 19.98 m

答案

x = 19.98 m

6.抛体运动

答案: H = 37.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 29·sin 60° = 25.11 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 25.11²/(2·9.81) = 32.15 m

离地面的高度

H = 5 + 32.15 = 37.15 m

答案

H = 37.15 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·105) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 33.91 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·8.5²/0.7 = 2.943 + 30.96 = 33.91 N

答案

T = 33.91 N

9.功和能

答案: T = 14.4 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 40°) = 2.295 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·2.295/0.5 = 14.4 N

答案

T = 14.4 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 14.4 N。

10.功和能

答案: v = 6.061 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 50.33 N

μ·mg·cos θ = 34.57 N

功–能关系

½mv² = (140 − 84.9)·5 = 275.5 J

v = √(2·275.5/15) = 6.061 m/s

答案

v = 6.061 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 35.71 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·9/1400 = 5.786 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·900·9² = 36450 J

K_after = ½·1400·5.786² = 23432 J

损失的比例

ΔK/K = 13018/36450 = 35.71 %

答案

ΔK/K = 35.71 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 15.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(13 + 15) = 15.4 N·s

答案

J = 15.4 N·s

13.弹簧与单摆

答案: x = −11.8 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(120/2.2) = 7.385 rad/s

ω·t = 7.385·0.45 = 3.323 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(3.323) = −11.8 cm

答案

x = −11.8 cm

14.弹簧与单摆

答案: A = 11.01 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·350/0.505 = 3.465 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(500/0.505) = 31.47 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.465/31.47 = 0.1101 m = 11.01 cm

答案

A = 11.01 cm

15.波、声与光学

答案: d_i = 21.43 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/50

d_i = 21.43 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 21.43 cm

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 22.88 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.3888

θ = 22.88°

答案

θ₁ = 22.88°

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