物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 19 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 19 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 1.5 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一辆 3.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 1.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 0.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 3.5 kgh = 1.5 mR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 30 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 30 Nθ = 35°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4 kgL = 0.7 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 1500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 350 m/sM = 3 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 550 nmd = 0.15 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 32.15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·3) = 32.15 m

答案

s = 32.15 m

2.运动学

答案: s = 459 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·19 = 342 m

s₃ = 18²/(2·4.5) = 36 m

总距离

s = 81 + 342 + 36 = 459 m

答案

s = 459 m

3.牛顿定律

答案: F = 308.1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 165.8 + 142.3 = 308.1 N

答案

F = 308.1 N

4.牛顿定律

答案: T = 8.584 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/8 = 1.226 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·1.226 + 0 = 8.584 N

答案

T = 8.584 N

5.抛体运动

答案: H = 29.97 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 24.25²/(2·9.81) = 29.97 m

答案

H = 29.97 m

6.抛体运动

答案: x = 30.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 25° = 15.41 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 25° = 7.185 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 7.185·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.185 + √(51.62 + 98.1))/9.81 = 1.98 s

水平距离

x = v_x·t = 15.41·1.98 = 30.5 m

答案

x = 30.5 m

7.圆周运动

答案: ω = 3.057 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·1.5)) = 3.057 rad/s

答案

ω = 3.057 rad/s

8.圆周运动

答案: N_top = 34.34 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(1.5 − 2·0.5) = 9.81 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 3.5·9.81/0.5 − 34.34 = 34.34 N

答案

N_top = 34.34 N

9.功和能

答案: W_f = 48.22 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.3·20.09 = 6.027 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.027·8 = 48.22 J

答案

W_f = 48.22 J

10.功和能

答案: v = 10.55 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 11.25 N

μ·mg·cos θ = 4.822 N

功–能关系

½mv² = (30 − 16.08)·8 = 111.4 J

v = √(2·111.4/2) = 10.55 m/s

答案

v = 10.55 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·12 = 6 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·12 = 18 m/s

答案

v′₁ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 342.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 15°) = 0.02385 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02385) = 0.6841 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.008·0.6841/0.008 = 342.7 m/s

答案

v = 342.7 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 7.807 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/3.015 = 1.741 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/3.015) = 22.3 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.741/22.3 = 0.07807 m = 7.807 cm

答案

A = 7.807 cm

15.波、声与光学

答案: d_i = 37.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37.5 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 37.5 cm

16.波、声与光学

答案: Δy = 9.167 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2.5/(0.15 × 10⁻³) = 9.167 mm

答案

Δy = 9.167 mm

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