物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)2.667 s20

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −7.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 7 m/s20 m

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 35°a = ?m = 6 kg

一个 6 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg5.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1.5 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = ?35°R = 120 m

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 35°R = 120 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 21 m/s55°x = ?

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 21 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 50 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 50 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
R = 3.5 mh = 9.8 m

一辆 2.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 9.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 Ntop。

m = 2.5 kgh = 9.8 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²
Ntop = N
9.功和能中等
0.1 kgk = 200 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 200 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
5 kg1 kgμ = 0.15d = 1 m

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.15）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m1 = 5 kgm2 = 1 kgμ = 0.15d = 1 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
1700 kg15 m/s1300 kg

一辆以 15 m/s 行驶的 1700 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m1 = 1700 kgv1 = 15 m/sm2 = 1300 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
24 m/s4 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgvin = 24 m/svout = 4 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
L = 1.8 mT = 4.37 s

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.37 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.8 mT = 4.37 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
0.2 kgk = 300 N/mA = 11 cm

一个 0.2 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。 求振动的总能量 E。

m = 0.2 kgk = 300 N/mA = 11 cm
E = J
15.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 20 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.5 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 0.5 Wr = 20 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
16.波、声与光学困难
λ = ?d = 0.15 mmL = 1.5 m21.28 mm

用单色光照射相距 0.15 mm 的两条缝。在 1.5 m 外的屏上，第 4 条亮条纹距中央条纹 21.28 mm。求波长 λ。

d = 0.15 mmL = 1.5 my4 = 21.28 mmm = 4
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 26.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7.5) = 26.67 m

答案

s = 26.67 m
2.运动学

答案: hmax = 22.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

离地面的高度

hmax = 20 + 2.497 = 22.5 m

答案

hmax = 22.5 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.02 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答案

a = 4.02 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 13.87 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 2.943)/7 = 7.287 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1.5·7.287 + 2.943 = 13.87 N

答案

T = 13.87 N
5.抛体运动

答案: v0 = 35.39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 70°) = 35.39 m/s

答案

v0 = 35.39 m/s
6.抛体运动

答案: x = 63.28 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 21·cos 55° = 12.05 m/s
vy = v0·sin θ = 21·sin 55° = 17.2 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 17.2·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (17.2 + √(295.9 + 882.9))/9.81 = 5.253 s

水平距离

x = vx·t = 12.05·5.253 = 63.28 m

答案

x = 63.28 m
7.圆周运动

答案: vmax = 18.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·50) = 18.53 m/s

答案

vmax = 18.53 m/s (66.71 km/h)
8.圆周运动

答案: Ntop = 14.72 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(9.8 − 2·3.5) = 54.94 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 2.5·54.94/3.5 − 24.53 = 14.72 N

答案

Ntop = 14.72 N
9.功和能

答案: h = 0.2548 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m
½kx² = ½·200·0.05² = 0.25 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N
h = ½kx²/(mg) = 0.25/0.981 = 0.2548 m

答案

h = 0.2548 m
10.功和能

答案: v = 0.9042 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·1 = 9.81 J
μ·m₁g·d = 0.15·49.05·1 = 7.357 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 2.453 → v = √(2·2.453/6) = 0.9042 m/s

答案

v = 0.9042 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 43.33 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1700·15/3000 = 8.5 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1700·15² = 191250 J
Kafter = ½·3000·8.5² = 108375 J

损失的比例

ΔK/K = 82875/191250 = 43.33 %

答案

ΔK/K = 43.33 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 12.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(4 + 24) = 12.6 N·s

答案

J = 12.6 N·s
13.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.8/4.37² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²
14.弹簧与单摆

答案: E = 1.815 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(300/0.2) = 38.73 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·300·0.11² = 1.815 J

答案

E = 1.815 J
15.波、声与光学

答案: β = 79.98 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 9.947 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(9.947 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 79.98 dB

答案

β = 79.98 dB
16.波、声与光学

答案: λ = 532 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.02128·0.00015/(4·1.5) = 5.32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

答案

λ = 532 nm

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