物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.2 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 18 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 18 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 21 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 65°h_roof = 21 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 160 m 的弯道倾斜 8°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 160 mθ = 8°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的球系在长 1.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.1 kgr = 1.5 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 400 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 400 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 8 m/s 行驶的 1000 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1000 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 27 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.6 kg 的物体连在 k = 260 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.6 kgk = 260 N/mA = 14 cm

E = J

15.波、声与光学中等

频率为 1000 Hz 的声源以 10 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求 2.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 550 nma = 0.05 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 28.02 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.2 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

合计

d = 15 + 13.02 = 28.02 m

答案

d = 28.02 m

2.运动学

答案: s = 282 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·8 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·8² = 48 m

s₂ = 12·18 = 216 m

s₃ = 12²/(2·4) = 18 m

总距离

s = 48 + 216 + 18 = 282 m

答案

s = 282 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.747 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/12.5 = 2.747 m/s²

答案

a = 2.747 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 4.944 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.25/9.81 = 4.944 s

答案

t = 4.944 s

6.抛体运动

答案: x = 79.09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 14.37 m/s, v_y = 30.81 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

21 = 30.81·t − 4.905·t²

t = (30.81 + √(30.81² − 2·9.81·21))/9.81 = 5.504 s

水平距离

x = v_x·t = 14.37·5.504 = 79.09 m

答案

x = 79.09 m

7.圆周运动

答案: v = 14.85 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(160·9.81·tan 8°) = 14.85 m/s

答案

v = 14.85 m/s

(53.47 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 51.64 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·1.5 = 85.14 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.1·85.14/1.5 − 1.1·9.81 = 51.64 N

答案

T_top = 51.64 N

9.功和能

答案: P = 26.48 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 400 = 1765 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1765·15 = 26479 W = 26.48 kW

答案

P = 26.48 kW

10.功和能

答案: v = 3.836 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.3·2.5) = 29.43 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.75) = 3.836 m/s

答案

v = 3.836 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 21333 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·8/3000 = 2.667 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1000·8² = 32000 J

K_after = ½·3000·2.667² = 10667 J

损失的能量

ΔK = 32000 − 10667 = 21333 J

答案

ΔK = 21333 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 805 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(19 + 27) = 16.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 16.1/0.02 = 805 N

答案

F_avg = 805 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m

14.弹簧与单摆

答案: E = 2.548 J

角频率

ω = √(260/2.6) = 10 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·260·0.14² = 2.548 J

答案

E = 2.548 J

15.波、声与光学

答案: f′ = 1030 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 1030 Hz

答案

f′ = 1030 Hz

16.波、声与光学

答案: w = 55 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·2.5/(0.05 × 10⁻³) = 27.5 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 55 mm

答案

w = 55 mm

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