物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 23 s，最后以 5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 23 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 12 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 12 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 50 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 35°x = 50 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 37 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 6 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 37 m/sθ = 35°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 0.9 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.2d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 8 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 7 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.75 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.5 kgk = 80 N/mA = 3 cmt = 0.75 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

把一个 2.4 kg 的物体挂在一根 k = 70 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.4 kgk = 70 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 60 dB 的声级。当 3 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 60 dBn = 3

β = dB

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.52，包层 n₂ = 1.44。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.52n₂ = 1.44

NA =

3溶液

1.运动学

答案: s = 111.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5) = 111.1 m

答案

s = 111.1 m

2.运动学

答案: t = 29 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·4 = 10 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 10/5 = 2 s

总时间

t = 4 + 23 + 2 = 29 s

答案

t = 29 s

3.牛顿定律

答案: F = 342.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 252.2 + 90.18 = 342.4 N

答案

F = 342.4 N

4.牛顿定律

答案: d = 15.2 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·4.738) = 15.2 m

答案

d = 15.2 m

5.抛体运动

答案: y = 20.91 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 35° = 29.49 m/s

t = x/v_x = 50/29.49 = 1.696 s

此时的高度

y = 20.65·1.696 − ½·9.81·1.696² = 20.91 m

答案

y = 20.91 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 121.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 30.31 m/s, v_y = 21.22 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

6 = 21.22·t − 4.905·t²

t = (21.22 + √(21.22² − 2·9.81·6))/9.81 = 4.023 s

水平距离

x = v_x·t = 30.31·4.023 = 121.9 m

答案

x = 121.9 m

7.圆周运动

答案: n = 23.65 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2)) = 2.476 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 23.65 rpm

答案

n = 23.65 rpm

8.圆周运动

答案: T = 57.85 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·7.5²/0.9 = 7.848 + 50 = 57.85 N

答案

T = 57.85 N

9.功和能

答案: W_f = 52.03 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.2·17.34 = 3.468 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.468·15 = 52.03 J

答案

W_f = 52.03 J

10.功和能

答案: x = 23.44 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.15·5) = 68.67 J

最大压缩量

½kx² = 68.67 → x = √(2·68.67/2500) = 0.2344 m = 23.44 cm

答案

x = 23.44 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 314.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3)·1.253/0.012 = 314.5 m/s

答案

v = 314.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 18 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(7 + 29) = 18 N·s

答案

J = 18 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.06162 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(80/3.5) = 4.781 rad/s

ω·t = 4.781·0.75 = 3.586 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·4.781·sin(3.586) = 0.06162 m/s

答案

v = 0.06162 m/s

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 67.27 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.4·9.81/70 = 0.3363 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.6727 m = 67.27 cm

答案

x_max = 67.27 cm

15.波、声与光学

答案: β = 64.77 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 3·I₁

难度

β = 60 + 10·log₁₀(3) = 64.77 dB

答案

β = 64.77 dB

16.波、声与光学

答案: NA = 0.4866

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.44/1.52 = 0.9474 → θc = 71.33°

数值孔径

NA = √(1.52² − 1.44²) = 0.4866

答案

NA = 0.4866

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