物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 22 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 22 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 80 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 80 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 33 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆 1600 kg 的汽车以 8 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 65 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1600 kgv = 8 m/sr = 65 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 6.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.3 kgr = 0.8 mv_bottom = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 4 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 800 N/mx = 20 cmθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 700 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 9 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 3.1 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.3 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.1 kgk = 260 N/mA = 3 cmt = 0.3 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.5 s，振幅为 20 cm。它从最大位移 20 cm 处运动到位移 18 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.5 sA = 20 cmx = 18 cm

t = s

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.8 m；波在其上以 120 m/s 传播。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 120 m/sn = 3L = 0.8 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 405 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 405 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 8 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/5.5 = 8 s

答案

t = 8 s

此时警车的速度为 2v = 44 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 29.13 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

离地面的高度

h_max = 25 + 4.128 = 29.13 m

答案

h_max = 29.13 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 43.25 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 19.69 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.031 N

系统的加速度

a = (83.39 − 19.69 − 7.031)/12 = 4.722 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 4.722) = 43.25 N

答案

T = 43.25 N

5.抛体运动

答案: θ = 16.46 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·80/38² = 0.5435

相角

2θ = 32.92° → θ = 16.46°

答案

θ = 16.46°

另一个解为 90° − θ = 73.54°。

6.抛体运动

答案: α = 66.24 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 33·cos 60° = 16.5 m/s

v_y0 = 33·sin 60° = 28.58 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(28.58² + 2·9.81·30) = 37.49 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 37.49/16.5 → α = 66.24°

答案

α = 66.24°

7.圆周运动

答案: N = 14121 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9.81 − 1600·8²/65 = 15696 − 1575 = 14121 N

答案

N = 14121 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 4.891 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 6.5² − 4·9.81·0.8 = 10.86 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.3·10.86/0.8 − 1.3·9.81 = 4.891 N

答案

T_top = 4.891 N

9.功和能

答案: v = 3.931 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.5 − 0.35·0.866)) = 3.931 m/s

答案

v = 3.931 m/s

10.功和能

答案: d = 1.53 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·800·0.2² = 16 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(29.43·(0.2588 + 0.1·0.9659)) = 1.53 m

答案

d = 1.53 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 5347 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·5/1800 = 1.944 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·5² = 8750 J

K_after = ½·1800·1.944² = 3403 J

损失的能量

ΔK = 8750 − 3403 = 5347 J

答案

ΔK = 5347 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 12 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(15 + 9) = 12 N·s

答案

J = 12 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.1055 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(260/3.1) = 9.158 rad/s

ω·t = 9.158·0.3 = 2.747 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·9.158·sin(2.747) = −0.1055 m/s

答案

v = −0.1055 m/s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1077 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.5 = 4.189 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/4.189 = 0.1077 s

答案

t = 0.1077 s

15.波、声与光学

答案: f₃ = 225 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/3 = 0.5333 m

频率

f = v/λ = 120/0.5333 = 225 Hz

答案

f₃ = 225 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 29.08 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·405 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.486

θ = 29.08°

答案

θ₁ = 29.08°

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