物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 38 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 3.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 26 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 100 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 26 m/sr = 100 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 1.1 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.2d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 7.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1100 kgd = 7.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.5 mT = 4 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一颗以 200 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 2000 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 20 gv = 200 m/sM = 1.5 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个高 1.5 cm 的物体位于焦距为 20 cm 的薄发散透镜前 40 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1.5 cmd_o = 40 cmf = −20 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 550 nmd = 0.3 mmL = 1 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.128 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6.5 = 5.128 s

答案

t = 5.128 s

2.运动学

答案: h_max = 370.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 38·2 = 76 m/s

h₁ = ½·38·2² = 76 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 76²/(2·9.81) = 294.4 m

h_max = 76 + 294.4 = 370.4 m

答案

h_max = 370.4 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.148

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·3.1) = 1.452 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.452/9.81 = 0.148

答案

μ = 0.148

4.牛顿定律

答案: a = 2.453 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 14.71)/10 = 2.453 m/s²

答案

a = 2.453 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 3.641 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.452²/(2·9.81) = 3.641 m

答案

H = 3.641 m

6.抛体运动

答案: x = 86.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 6.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.47 + √(41.87 + 784.8))/9.81 = 3.59 s

水平距离

x = v_x·t = 24.15·3.59 = 86.7 m

答案

x = 86.7 m

7.圆周运动

答案: N = 5185 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·26²/100 = 16677 − 11492 = 5185 N

答案

N = 5185 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 42.66 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·7.5²/1.1 = 6.867 + 35.8 = 42.66 N

答案

T = 42.66 N

9.功和能

答案: W_f = 46.09 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9397 = 23.05 N

F = μN = 0.2·23.05 = 4.609 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.609·10 = 46.09 J

答案

W_f = 46.09 J

10.功和能

答案: v = 9.265 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.25·2.5) = 42.92 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.375) = 9.265 m/s

答案

v = 9.265 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 11.08 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 2.5)/(4 + 2.5)·9 = 2.077 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2.5)·9 = 11.08 m/s

答案

v′₂ = 11.08 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 20.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·7.5) = 10.15 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·10.15/1100 = 20.3 m/s

答案

v₁ = 20.3 m/s

(73.07 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.701 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.5/4² = 3.701 m/s²

答案

g = 3.701 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: A = 7.255 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.02·200/1.52 = 2.632 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1.52) = 36.27 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.632/36.27 = 0.07255 m = 7.255 cm

答案

A = 7.255 cm

15.波、声与光学

答案: h_i = 0.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/40

d_i = −13.33 cm

放大率与像高

m = −(−13.33)/40 = 0.3333

h_i = 0.3333·1.5 = 0.5 cm

答案

h_i = 0.5 cm

16.波、声与光学

答案: y₂ = 3.667 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0.3 × 10⁻³) = 1.833 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·1.833 = 3.667 mm

答案

y₂ = 3.667 mm

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