物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 800 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 200 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 200 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 1.4 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 450 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 2°F_r = 450 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 50 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 50 Nθ = 20°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 500 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3.5 kgL = 0.7 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.42 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 3.42 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 60 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 60 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

频率为 300 Hz 的声源以 25 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 10 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = −10 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = −10 cms = 10 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 66.33 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·800) = 66.33 m/s

答案

v = 66.33 m/s

(238.8 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 35.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 30 + 5.097 = 35.1 m

答案

h_max = 35.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.965 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 200·sin 25° = 160.7 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 181.3 − 32.15

a = 149.1/25 = 5.965 m/s²

答案

a = 5.965 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.152 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·7.029) = 2.152 m

答案

d = 2.152 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 21.29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 120°) = 21.29 m/s

答案

v₀ = 21.29 m/s

6.抛体运动

答案: x = 122 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 15° = 32.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 15° = 8.8 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 8.8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.8 + √(77.44 + 686.7))/9.81 = 3.715 s

水平距离

x = v_x·t = 32.84·3.715 = 122 m

答案

x = 122 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.2 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·100) = 26.2 m/s

答案

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 99.94 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·8²/1.4 = 17.66 + 82.29 = 99.94 N

答案

T = 99.94 N

9.功和能

答案: P = 11.35 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 2° = 684.7 N

F = 684.7 + 450 = 1135 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1135·10 = 11347 W = 11.35 kW

答案

P = 11.35 kW

10.功和能

答案: v = 4.101 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 26.84 N

μ·mg·cos θ = 14.75 N

功–能关系

½mv² = (50 − 41.59)·8 = 67.27 J

v = √(2·67.27/8) = 4.101 m/s

答案

v = 4.101 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 64.29 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·24/1400 = 8.571 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·24² = 144000 J

K_after = ½·1400·8.571² = 51429 J

损失的比例

ΔK/K = 92571/144000 = 64.29 %

答案

ΔK/K = 64.29 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 476.1 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 30°) = 0.09378 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09378) = 1.356 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.51·1.356/0.01 = 476.1 m/s

答案

v = 476.1 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/3.42² = 3.713 m/s²

答案

g = 3.713 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.176 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(60/3.1) = 4.399 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.04·4.399 = 0.176 m/s

答案

v_max = 0.176 m/s

15.波、声与光学

答案: f′ = 323.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 0)/(343 − 25)

f′ = 323.6 Hz

答案

f′ = 323.6 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −11.25 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/25 → d_i1 = 100 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 10 − 100 = −90 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/(−90) → d_i2 = −11.25 cm

答案

d_i2 = −11.25 cm

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