物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 0.7 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 1.4 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 39 m/s 水平运动的 18 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。10 kg 的碎片以 88 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 18 kgu = 39 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 88 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 11 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.9 s，振幅为 16 cm。它从平衡位置运动到位移 8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.9 sA = 16 cmx = 8 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的基频（一次谐波）必须为 71 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 71 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.5 mm 的两条缝。在 3 m 外的屏上，第 3 条亮条纹距中央条纹 8.64 mm。求波长 λ。

d = 0.5 mmL = 3 my₃ = 8.64 mmm = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 108.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·0.7 = 23.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6.5) = 85.47 m

合计

d = 23.33 + 85.47 = 108.8 m

答案

d = 108.8 m

2.运动学

答案: t = 2.991 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.991 s

答案

t = 2.991 s

3.牛顿定律

答案: F = 33.02 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 24.52 + 8.496 = 33.02 N

答案

F = 33.02 N

4.牛顿定律

答案: T = 13.8 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 11.04)/6 = 0.6131 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·0.6131 + 11.04 = 13.8 N

答案

T = 13.8 N

5.抛体运动

答案: t = 5.65 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27.71 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·27.71/9.81 = 5.65 s

答案

t = 5.65 s

6.抛体运动

答案: H = 42.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 35·sin 20° = 11.97 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.97²/(2·9.81) = 7.304 m

离地面的高度

H = 35 + 7.304 = 42.3 m

答案

H = 42.3 m

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 36.11 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·4²/1.4 = 16.68 + 19.43 = 36.11 N

答案

T = 36.11 N

9.功和能

答案: W_f = 71.9 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9397 = 36.87 N

F = μN = 0.15·36.87 = 5.531 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.531·13 = 71.9 J

答案

W_f = 71.9 J

10.功和能

答案: x = 54.25 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.2·2.5) = 294.3 J

最大压缩量

½kx² = 294.3 → x = √(2·294.3/2000) = 0.5425 m = 54.25 cm

答案

x = 54.25 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −22.25 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 18·39 = 702 kg·m/s

碰撞后的动量

702 = 10·88 + 8·v′₂

v′₂ = (702 − 880)/8 = −22.25 m/s

答案

v′₂ = −22.25 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 336 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(10 + 11) = 8.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.4/0.025 = 336 N

答案

F_avg = 336 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.3578 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.2/2π)² = 0.3578 m

答案

L = 0.3578 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.075 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.9 = 6.981 rad/s

求解时间

0.5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.5) = 0.5236 rad

t = 0.5236/6.981 = 0.075 s

答案

t = 0.075 s

15.波、声与光学

答案: L = 1.208 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/71 = 4.831 m

长度

L = nλ/4 = 1·4.831/4 = 1.208 m

答案

L = 1.208 m

16.波、声与光学

答案: λ = 480 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.00864·0.0005/(3·3) = 4.8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

答案

λ = 480 nm

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