物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 30 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgF = 30 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 30°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 1200 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1200 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 15 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1000 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 8 cm 时的速度 v。

m = 1.4 kgk = 260 N/mA = 12 cmx = 8 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 390 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.8 kgk = 390 N/mA = 20 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求 2 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 589 nma = 0.08 mmL = 2 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 9.766 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·8) = 9.766 m

答案

s = 9.766 m

2.运动学

答案: h_max = 46.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 40 + 6.167 = 46.17 m

答案

h_max = 46.17 m

3.牛顿定律

答案: F = 306 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 167.8 + 138.3 = 306 N

答案

F = 306 N

4.牛顿定律

答案: T = 10 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 11.77)/12 = 1.519 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(1.519 + 0.981) = 10 N

答案

T = 10 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 46.36 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·12.62/9.81 = 2.573 s

水平距离

x = v_x·t = 18.02·2.573 = 46.36 m

答案

x = 46.36 m

6.抛体运动

答案: x = 18.48 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 8.66·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.66 + √(75 + 686.7))/9.81 = 3.696 s

水平距离

x = v_x·t = 5·3.696 = 18.48 m

答案

x = 18.48 m

7.圆周运动

答案: T = 1.608 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1·sin 50° = 0.766 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.766·9.81·tan 50°) = 2.993 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.766/2.993 = 1.608 s

答案

T = 1.608 s

8.圆周运动

答案: v_min = 3.836 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

v_min = 3.836 m/s

9.功和能

答案: W_f = 33.98 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.866 = 33.98 N

F = μN = 0.2·33.98 = 6.797 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.797·5 = 33.98 J

答案

W_f = 33.98 J

10.功和能

答案: x = 12.53 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·4) = 3.924 J

最大压缩量

½kx² = 3.924 → x = √(2·3.924/500) = 0.1253 m = 12.53 cm

答案

x = 12.53 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 99086 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·17/2800 = 7.286 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1200·17² = 173400 J

K_after = ½·2800·7.286² = 74314 J

损失的能量

ΔK = 173400 − 74314 = 99086 J

答案

ΔK = 99086 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 10.7 m/s

动量分量

p_x = 1000·13 = 13000 kg·m/s

p_y = 1800·15 = 27000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 29967/2800 = 10.7 m/s

答案

v′ = 10.7 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.219 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(260/1.4) = 13.63 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 13.63·√(0.12² − 0.08²) = 1.219 m/s

答案

v = 1.219 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 7.8 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(390/3.8) = 10.13 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·390·0.2² = 7.8 J

答案

E = 7.8 J

15.波、声与光学

答案: d_i = 12.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/50

d_i = 12.5 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 12.5 cm

16.波、声与光学

答案: w = 29.45 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·2/(0.08 × 10⁻³) = 14.72 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 29.45 mm

答案

w = 29.45 mm

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