物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 55 N 的水平力拉前面 10 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 10 kgF = 55 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 4.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 27.95 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 6.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 4.5 kgh = 27.95 mR = 6.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.25d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1400 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 8 m/sv_out = 20 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.2 kg 的物体连在 k = 80 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.2 kgk = 80 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 536 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 536 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 5 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 5 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 26.04 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3) = 26.04 m

答案

s = 26.04 m

2.运动学

答案: d = 51.78 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1166))/(2·4.905) = 3.249 s

深度

d = ½·9.81·3.249² = 51.78 m

答案

d = 51.78 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 24.44 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 35.32)/18 = 1.094 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(1.094 + 1.962) = 24.44 N

答案

T = 24.44 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 2.854 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

答案

t = 2.854 s

6.抛体运动

答案: t = 5.032 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 55° = 10.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 55° = 14.74 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 14.74·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.74 + √(217.4 + 981))/9.81 = 5.032 s

答案

t = 5.032 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.18 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·75) = 19.18 m/s

答案

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 423.8 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·27.95 = 548.4 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 4.5·548.4/6.5 + 44.15 = 423.8 N

答案

N_bottom = 423.8 N

9.功和能

答案: W_f = 28.81 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9397 = 23.05 N

F = μN = 0.25·23.05 = 5.761 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.761·5 = 28.81 J

答案

W_f = 28.81 J

10.功和能

答案: x = 68.86 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.25·1.5) = 355.6 J

最大压缩量

½kx² = 355.6 → x = √(2·355.6/1500) = 0.6886 m = 68.86 cm

答案

x = 68.86 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 57.58 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·14/3300 = 5.939 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·14² = 137200 J

K_after = ½·3300·5.939² = 58206 J

损失的比例

ΔK/K = 78994/137200 = 57.58 %

答案

ΔK/K = 57.58 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 9.8 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(20 + 8) = 9.8 N·s

答案

J = 9.8 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.2 m/s

角频率

ω = √(80/0.2) = 20 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.06·20 = 1.2 m/s

答案

v_max = 1.2 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.7999 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/536 = 0.6399 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.6399/4 = 0.7999 m

答案

L = 0.7999 m

16.波、声与光学

答案: d_i = −8.571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/5

d_i = −8.571 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −8.571 cm

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