物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 20° 的角度朝 21 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 20°x = 21 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 24 m/sθ = 65°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 13 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 40 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 13 m/sr = 40 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 7.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 7.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 25°μ = 0.25d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 20 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0.15d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 10 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3.4 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.4 kgk = 420 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄发散透镜前 40 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 40 cmf = −15 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.4 mmL = 1.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 7.407 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/4.5 = 7.407 s

答案

t = 7.407 s

2.运动学

答案: t = 3.978 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.978 s

答案

t = 3.978 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.355 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答案

a = 3.355 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 33.49 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/14.5 = 3.721 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·3.721 + 0 = 33.49 N

答案

T = 33.49 N

5.抛体运动

答案: y = 6.112 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 40·cos 20° = 37.59 m/s

t = x/v_x = 21/37.59 = 0.5587 s

此时的高度

y = 13.68·0.5587 − ½·9.81·0.5587² = 6.112 m

答案

y = 6.112 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 84.11 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 24·sin 65° = 21.75 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 21.75²/(2·9.81) = 24.11 m

离地面的高度

H = 60 + 24.11 = 84.11 m

答案

H = 84.11 m

7.圆周运动

答案: N = 9495 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·13²/40 = 16677 − 7183 = 9495 N

答案

N = 9495 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: h_min = 18.75 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·7.5 = 18.75 m

答案

h_min = 18.75 m

9.功和能

答案: W_f = 111.1 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9063 = 22.23 N

F = μN = 0.25·22.23 = 5.557 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.557·20 = 111.1 J

答案

W_f = 111.1 J

10.功和能

答案: v = 7.946 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 2.766 N

功–能关系

½mv² = (20 − 9.476)·6 = 63.14 J

v = √(2·63.14/2) = 7.946 m/s

答案

v = 7.946 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.308 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 5)/(1.5 + 5)·5 = −2.692 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 5)·5 = 2.308 m/s

答案

v′₂ = 2.308 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 8.7 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(19 + 10) = 8.7 N·s

答案

J = 8.7 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.6361 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.6/2π)² = 0.6361 m

答案

L = 0.6361 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 9.882 m/s²

角频率

ω = √(420/3.4) = 11.11 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.08·11.11² = 9.882 m/s²

答案

a_max = 9.882 m/s²

15.波、声与光学

答案: d_i = −10.91 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/40

d_i = −10.91 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −10.91 cm

16.波、声与光学

答案: Δy = 2.25 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 2.25 mm

答案

Δy = 2.25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics