运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 11 s，然后匀速行驶 15 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。
a1 = 2.5 m/s²t1 = 11 st2 = 15 sa3 = −2.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
一个 17 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 17 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 145 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。 求连接绳中的拉力 T。
m1 = 4 kgm2 = 7 kgF = 145 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。
v0 = 24 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 15° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它落地时与水平方向向下成多大角度 α？
v₀ = 11 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9.81 m/s²
α = °
7.圆周运动中等
在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。 求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。
r = 3.2 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
ω = rad/s
8.圆周运动困难
一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 2.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 0.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 Ntop。
m = 0.5 kgh = 2.5 mR = 0.5 mg = 9.81 m/s²
Ntop = N
9.功和能中等
一个 0.5 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。
m = 0.5 kgL = 1 mθ = 60°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
在 30° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）
m = 5 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
d = m
11.动量与碰撞中等
一辆以 8 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？
m1 = 800 kgv1 = 8 m/sm2 = 2000 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
一个 0.15 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.15 kgvin = 8 m/svout = 11 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.26 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 1 mT = 1.26 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
一个 1.1 kg 的物体连在 k = 60 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。 求振动的总能量 E。
m = 1.1 kgk = 60 N/mA = 3 cm
E = J
15.波、声与光学中等
两端开口的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其第 4 次谐波的频率 f4。
v = 343 m/sn = 4L = 0.5 m
f4 = Hz
16.波、声与光学困难
波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求第 2 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ2。
λ = 589 nma = 0.1 mmm = 2
θ2 = °
3溶液
1.运动学
答案: s = 14.2 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m
答案
s = 14.2 m
2.运动学
答案: s = 715 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
最高速度
v = a1·t1 = 2.5·11 = 27.5 m/s
各阶段的距离
s1 = ½·2.5·11² = 151.3 m
s2 = 27.5·15 = 412.5 m
s3 = 27.5²/(2·2.5) = 151.3 m
总距离
s = 151.3 + 412.5 + 151.3 = 715 m
答案
s = 715 m
3.牛顿定律
答案: a = 3.216 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²
答案
a = 3.216 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 52.73 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
整个系统
a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (145 − 26.98)/11 = 10.73 m/s²
单独分析后面的物块
T = m1·(a + μ·g) = 4·(10.73 + 2.453) = 52.73 N
答案
T = 52.73 N
两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。
5.抛体运动
答案: t = 4.008 s
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s
vy = v0·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·19.66/9.81 = 4.008 s
答案
t = 4.008 s
6.抛体运动
答案: α = 44.13 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
分解初速度
vx = 11·cos 15° = 10.63 m/s
vy0 = 11·sin 15° = 2.847 m/s
落地时的竖直速度
用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。
vy = √(2.847² + 2·9.81·5) = 10.31 m/s
落地角度
tan α = vy/vx = 10.31/10.63 → α = 44.13°
答案
α = 44.13°
7.圆周运动
答案: ω = 2.476 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
乘客受到的力
N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g
角速度
ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·3.2)) = 2.476 rad/s
答案
ω = 2.476 rad/s
8.圆周运动
答案: Ntop = 24.52 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
由能量守恒求速度
v² = 2·9.81·(2.5 − 2·0.5) = 29.43 m²/s²
受力
指向圆心为正。
N = m·v²/R − m·g = 0.5·29.43/0.5 − 4.905 = 24.52 N
答案
Ntop = 24.52 N
9.功和能
答案: T = 9.81 N
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。
最低点的速度
v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 60°) = 9.81 m²/s²
最低点的受力
m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·9.81/1 = 9.81 N
答案
T = 9.81 N
校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 9.81 N。
10.功和能
答案: d = 1.509 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 15 cm = 0.15 m
½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J
沿斜面的能量衡算
m·g = 5·9.81 = 49.05 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 56.25/(49.05·(0.5 + 0.3·0.866)) = 1.509 m
答案
d = 1.509 m
11.动量与碰撞
答案: ΔK/K = 71.43 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 800·8/2800 = 2.286 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·800·8² = 25600 J
Kafter = ½·2800·2.286² = 7314 J
损失的比例
ΔK/K = 18286/25600 = 71.43 %
答案
ΔK/K = 71.43 %
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: Favg = 142.5 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.15·(11 + 8) = 2.85 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 2.85/0.02 = 142.5 N
答案
Favg = 142.5 N
13.弹簧与单摆
答案: g = 24.87 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1.26² = 24.87 m/s²
答案
g = 24.87 m/s²
14.弹簧与单摆
答案: E = 0.027 J
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(60/1.1) = 7.385 rad/s
能量
E = ½·k·A² = ½·60·0.03² = 0.027 J
答案
E = 0.027 J
15.波、声与光学
答案: f4 = 1372 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
该模式的波长
λ = 2L/n = 2·0.5/4 = 0.25 m
频率
f = v/λ = 343/0.25 = 1372 Hz
答案
f4 = 1372 Hz
16.波、声与光学
答案: θ2 = 0.675 °
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
暗条纹条件
sin θ = mλ/a = 0.01178
θ = 0.675°
答案
θ2 = 0.675°
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