物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.2 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 10 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 10 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 20°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s 抛出，必须落在 60 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 28 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 50° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.4 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 0.6 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.25d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 6 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgL = 0.6 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 290 N/m 弹簧上的 0.4 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.4 kgk = 290 N/mA = 14 cmt = 1.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 1 kg 的物体连在 k = 400 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1 kgk = 400 N/mA = 3 cm

E = J

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的基频（一次谐波）必须为 63 Hz；波在其上以 150 m/s 传播。求其长度 L。

v = 150 m/sn = 1f₁ = 63 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 25.42 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.2 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

合计

d = 15 + 10.42 = 25.42 m

答案

d = 25.42 m

2.运动学

答案: t = 0.3704 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

10 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 10/27 = 0.3704 s

答案

t = 0.3704 s

3.牛顿定律

答案: F = 316.9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 151 + 165.9 = 316.9 N

答案

F = 316.9 N

4.牛顿定律

答案: a = 4.415 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 4.905)/10 = 4.415 m/s²

答案

a = 4.415 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 24.33 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/28² = 0.7508

相角

2θ = 48.66° → θ = 24.33°

答案

θ = 24.33°

另一个解为 90° − θ = 65.67°。

6.抛体运动

答案: t = 1.997 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 20° = 13.16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 20° = 4.788 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 4.788·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.788 + √(22.93 + 196.2))/9.81 = 1.997 s

答案

t = 1.997 s

7.圆周运动

答案: T = 1.017 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.4·sin 50° = 0.3064 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.3064·9.81·tan 50°) = 1.893 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.3064/1.893 = 1.017 s

答案

T = 1.017 s

8.圆周运动

答案: T = 163.1 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.4·9.81 + 1.4·8²/0.6 = 13.73 + 149.3 = 163.1 N

答案

T = 163.1 N

9.功和能

答案: W_f = 28.13 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.25·8.036 = 2.009 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.009·14 = 28.13 J

答案

W_f = 28.13 J

10.功和能

答案: v = 3.033 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 58.86·2.5 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.3·98.1·2.5 = 73.58 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 73.58 → v = √(2·73.58/16) = 3.033 m/s

答案

v = 3.033 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 5.727 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 0.5)/(5 + 0.5)·7 = 5.727 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0.5)·7 = 12.73 m/s

答案

v′₁ = 5.727 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 281.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 20°) = 0.03618 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.03618) = 0.8426 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.012·0.8426/0.012 = 281.7 m/s

答案

v = 281.7 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = 3.157 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(290/0.4) = 26.93 rad/s

ω·t = 26.93·1.45 = 39.04 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(39.04) = 3.157 cm

答案

x = 3.157 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.18 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(400/1) = 20 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·400·0.03² = 0.18 J

答案

E = 0.18 J

15.波、声与光学

答案: L = 1.19 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 150/63 = 2.381 m

长度

L = nλ/2 = 1·2.381/2 = 1.19 m

答案

L = 1.19 m

16.波、声与光学

答案: f″ = 21201 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 10)/343 = 20583 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 21201 Hz

答案

f″ = 21201 Hz

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