物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.4 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1.4 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 150 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 12 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 12 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 22 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 1 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 13 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 140 N/m 弹簧上的 3.3 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.8 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.3 kgk = 140 N/mA = 7 cmt = 0.8 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 15 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 380 N/mA = 17 cmx = 15 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 357 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 357 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 40.69 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.4 = 23.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

合计

d = 23.33 + 17.36 = 40.69 m

答案

d = 40.69 m

2.运动学

答案: h_max = 121.4 m

动力阶段

v₁ = 28·1.5 = 42 m/s

h₁ = ½·28·1.5² = 31.5 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 42²/(2·9.81) = 89.91 m

h_max = 31.5 + 89.91 = 121.4 m

答案

h_max = 121.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.593 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 150·sin 35° = 110.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 122.9 − 11.02

a = 111.9/20 = 5.593 m/s²

答案

a = 5.593 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 10.54 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·6.832) = 10.54 m

答案

d = 10.54 m

5.抛体运动

答案: H = 10.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14.14 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.14²/(2·9.81) = 10.19 m

答案

H = 10.19 m

6.抛体运动

答案: x = 127.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 60° = 17 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 60° = 29.44 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 29.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (29.44 + √(867 + 1079))/9.81 = 7.498 s

水平距离

x = v_x·t = 17·7.498 = 127.5 m

答案

x = 127.5 m

7.圆周运动

答案: v_max = 23.44 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·80) = 23.44 m/s

答案

v_max = 23.44 m/s (84.38 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.571 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答案

v_min = 3.571 m/s

9.功和能

答案: T = 22.72 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 70°) = 12.91 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·12.91/1 = 22.72 N

答案

T = 22.72 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 22.72 N。

10.功和能

答案: x = 7.924 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.3·1) = 15.7 J

最大压缩量

½kx² = 15.7 → x = √(2·15.7/5000) = 0.07924 m = 7.924 cm

答案

x = 7.924 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.429 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·8 = −3.429 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·8 = 4.571 m/s

答案

v′₁ = −3.429 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 116.2 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(18 + 13) = 4.65 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.65/0.04 = 116.2 N

答案

F_avg = 116.2 N

13.弹簧与单摆

答案: x = 3.346 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(140/3.3) = 6.513 rad/s

ω·t = 6.513·0.8 = 5.211 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(5.211) = 3.346 cm

答案

x = 3.346 cm

14.弹簧与单摆

答案: U = 4.275 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·380·0.17² = 5.491 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·380·0.15² = 4.275 J

答案

U = 4.275 J

15.波、声与光学

答案: L = 1.201 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/357 = 0.9608 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.9608/4 = 1.201 m

答案

L = 1.201 m

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 21.1 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·450 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.36

θ = 21.1°

答案

θ₁ = 21.1°

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