运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。
v₀ = 72 km/htr = 1 sa = −5 m/s²
d = m
2.运动学困难
一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。
ttotal = 2.7 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
一个 16 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 16 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 1 kgm2 = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。
v0 = 28 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 17 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。
v₀ = 34 m/sθ = 50°hroof = 17 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一位道路工程师希望汽车以 100 km/h 通过半径为 120 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。
r = 120 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²
θ = °
8.圆周运动困难
一个半径为 80 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。
r = 80 mθ = 18°μs = 0.15g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
一个 0.5 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。
m = 0.5 kgL = 3 mθ = 60°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 10 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。
m1 = 4 kgm2 = 1 kgv1 = 2 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.25 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.25 kgvin = 12 m/svout = 13 m/sΔt = 25 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 50 N/m 弹簧上的 3.1 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。
m = 3.1 kgk = 50 N/mA = 10 cmx = 5 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
一个 2.2 kg 的物体连在 k = 230 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。 求振动的总能量 E。
m = 2.2 kgk = 230 N/mA = 16 cm
E = J
15.波、声与光学中等
光在火石玻璃（n = 1.62）中向与冕牌玻璃（n = 1.50）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。
n1 = 1.62n2 = 1.50
θc = °
16.波、声与光学困难
一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凹面镜前 20 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。
do = 20 cmR = 24 cm
m =
3溶液
1.运动学
答案: d = 60 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
单位
v₀ = 72/3.6 = 20 m/s
反应距离
d1 = v₀·tr = 20·1 = 20 m
制动距离
d2 = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m
合计
d = 20 + 40 = 60 m
答案
d = 60 m
2.运动学
答案: d = 33.24 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
时间的两部分
½·9.81·t₁² = 343·(2.7 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 926.1 = 0
下落时间
只有正根有物理意义。
t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·926.1))/(2·4.905) = 2.603 s
深度
d = ½·9.81·2.603² = 33.24 m
答案
d = 33.24 m
3.牛顿定律
答案: a = 6.306 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²
答案
a = 6.306 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 7.007 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 0)/3.5 = 7.007 m/s²
答案
a = 7.007 m/s²
5.抛体运动
答案: t = 4.036 s
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 28·cos 45° = 19.8 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 45° = 19.8 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·19.8/9.81 = 4.036 s
答案
t = 4.036 s
6.抛体运动
答案: x = 99.39 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
分解初速度
vx = 21.85 m/s, vy = 26.05 m/s
落到屋顶的时间
较大的根：球正在下降。
17 = 26.05·t − 4.905·t²
t = (26.05 + √(26.05² − 2·9.81·17))/9.81 = 4.548 s
水平距离
x = vx·t = 21.85·4.548 = 99.39 m
答案
x = 99.39 m
7.圆周运动
答案: θ = 33.24 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
单位
v = 100/3.6 = 27.78 m/s
弯道倾角
tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(120·9.81) = 0.6555
θ = 33.24°
答案
θ = 33.24°
8.圆周运动
答案: vmax = 19.79 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
力的平衡
摩擦力沿斜面向下。
N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g
速率
v = √(80·9.81·0.4517/0.9047) = 19.79 m/s
答案
vmax = 19.79 m/s
(71.26 km/h)
9.功和能
答案: T = 9.81 N
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。
最低点的速度
v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 60°) = 29.43 m²/s²
最低点的受力
m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·29.43/3 = 9.81 N
答案
T = 9.81 N
校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 9.81 N。
10.功和能
答案: x = 37.72 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.2·3) = 284.5 J
最大压缩量
½kx² = 284.5 → x = √(2·284.5/4000) = 0.3772 m = 37.72 cm
答案
x = 37.72 cm
11.动量与碰撞
答案: v′2 = 3.2 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
与静止物体的弹性碰撞
联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。
v′1 = (4 − 1)/(4 + 1)·2 = 1.2 m/s
v′2 = 2·4/(4 + 1)·2 = 3.2 m/s
答案
v′2 = 3.2 m/s
12.动量与碰撞
答案: Favg = 250 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.25·(13 + 12) = 6.25 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 6.25/0.025 = 250 N
答案
Favg = 250 N
13.弹簧与单摆
答案: v = 0.3478 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(50/3.1) = 4.016 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 4.016·√(0.1² − 0.05²) = 0.3478 m/s
答案
v = 0.3478 m/s
14.弹簧与单摆
答案: E = 2.944 J
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(230/2.2) = 10.22 rad/s
能量
E = ½·k·A² = ½·230·0.16² = 2.944 J
答案
E = 2.944 J
15.波、声与光学
答案: θc = 67.81 °
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
折射角为 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1.50/1.62 = 0.9259
临界角
θc = arcsin(0.9259) = 67.81°
答案
θc = 67.81°
16.波、声与光学
答案: m = −1.5
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
焦距
f = R/2 = 12 cm
镜面方程
1/di = 1/f − 1/do = 1/12 − 1/20
di = 30 cm
放大率
m = −30/20 = −1.5
答案
m = −1.5
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