物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 31 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 31 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 135 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 135 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 28 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 65°h_roof = 28 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.6 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 140 mθ = 20°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.2d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 24 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 1.5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgL = 0.6 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 0.2 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.2 kgk = 320 N/mA = 12 cmt = 0.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 1.3 kg 的物体连在 k = 270 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.3 kgk = 270 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 1.5 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 1.5 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 405 nm 的光垂直照射在每毫米 600 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 600 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 109.1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1700) = 109.1 m/s

答案

v = 109.1 m/s

(392.7 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.256 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.256 s

答案

t = 4.256 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04974

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·31) = 0.4879 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4879/9.81 = 0.04974

答案

μ = 0.04974

4.牛顿定律

答案: T = 38.98 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 22.51 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.214 N

系统的加速度

a = (58.86 − 22.51 − 3.214)/10 = 3.314 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 3.314) = 38.98 N

答案

T = 38.98 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 41.58 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·135/sin 50°) = 41.58 m/s

答案

v₀ = 41.58 m/s

6.抛体运动

答案: x = 68.93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 13.95 m/s, v_y = 29.91 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

28 = 29.91·t − 4.905·t²

t = (29.91 + √(29.91² − 2·9.81·28))/9.81 = 4.943 s

水平距离

x = v_x·t = 13.95·4.943 = 68.93 m

答案

x = 68.93 m

7.圆周运动

答案: v = 0.856 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.6·sin 20° = 0.2052 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2052·9.81·tan 20°) = 0.856 m/s

答案

v = 0.856 m/s

8.圆周运动

答案: v_min = 18.7 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(140·9.81·0.2481/0.9739) = 18.7 m/s

答案

v_min = 18.7 m/s

(67.33 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 120.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N

F = μN = 0.2·40.18 = 8.036 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.036·15 = 120.5 J

答案

W_f = 120.5 J

10.功和能

答案: v = 1.229 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·0.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.1·98.1·0.5 = 4.905 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 9.81 → v = √(2·9.81/13) = 1.229 m/s

答案

v = 1.229 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 219.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1.5)·2.17/0.015 = 219.2 m/s

答案

v = 219.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 106.1 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 10°) = 0.009115 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.009115) = 0.4229 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.02·0.4229/0.02 = 106.1 m/s

答案

v = 106.1 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = 7.924 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(320/0.2) = 40 rad/s

ω·t = 40·0.45 = 18 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(18) = 7.924 cm

答案

x = 7.924 cm

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 14.54 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(270/1.3) = 14.41 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.07·14.41² = 14.54 m/s²

答案

a_max = 14.54 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₁ = 114.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/1 = 3 m

频率

f = v/λ = 343/3 = 114.3 Hz

答案

f₁ = 114.3 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 46.8 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.729

θ = 46.8°

答案

θ₃ = 46.8°

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