物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 55 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3.5 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.2 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 280 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 280 mθ = 30°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 5 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 5 cmθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 18 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 2.2 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.2 kgk = 420 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与火石玻璃（n = 1.62）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.62

θ_c = °

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凸面镜前 50 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 50 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

答案

s = 25 m

2.运动学

答案: y = 13.9 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 55/19 = 2.895 s

相遇高度

y = 19·2.895 − ½·9.81·2.895² = 13.9 m

答案

y = 13.9 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.757 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·3.487) = 1.757 m

答案

d = 1.757 m

5.抛体运动

答案: t = 4.944 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.25/9.81 = 4.944 s

答案

t = 4.944 s

6.抛体运动

答案: x = 57.79 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 15° = 23.18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 15° = 6.212 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 6.212·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.212 + √(38.58 + 294.3))/9.81 = 2.493 s

水平距离

x = v_x·t = 23.18·2.493 = 57.79 m

答案

x = 57.79 m

7.圆周运动

答案: v = 4.202 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.2·sin 60° = 1.039 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.039·9.81·tan 60°) = 4.202 m/s

答案

v = 4.202 m/s

8.圆周运动

答案: v_min = 32.87 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(280·9.81·0.3701/0.941) = 32.87 m/s

答案

v_min = 32.87 m/s

(118.3 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 5.335 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.3·8.891 = 2.667 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.667·2 = 5.335 J

答案

W_f = 5.335 J

10.功和能

答案: d = 1.178 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·3000·0.05² = 3.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3.75/(4.905·(0.4226 + 0.25·0.9063)) = 1.178 m

答案

d = 1.178 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1.5)/(2.5 + 1.5)·8 = 2 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1.5)·8 = 10 m/s

答案

v′₁ = 2 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 92.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(19 + 18) = 3.7 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.7/0.04 = 92.5 N

答案

F_avg = 92.5 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 7.636 m/s²

角频率

ω = √(420/2.2) = 13.82 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.04·13.82² = 7.636 m/s²

答案

a_max = 7.636 m/s²

15.波、声与光学

答案: θ_c = 42.02 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.62/2.42 = 0.6694

临界角

θc = arcsin(0.6694) = 42.02°

答案

θ_c = 42.02°

16.波、声与光学

答案: d_i = −9.677 cm

焦距

f = −R/2 = −12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/50

d_i = −9.677 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −9.677 cm

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