物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 10 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 15 mv_0B = 10 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 80 km/h 通过半径为 200 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 200 mv = 80 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一辆 3.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 7.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 3.5 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 35°μ = 0.15d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 220 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 220 Nθ = 15°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 18 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 70 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.1 kgk = 70 N/mA = 13 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 50 cmf = 5 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 39.06 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

答案

s = 39.06 m

2.运动学

答案: y = 3.964 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 10·t − ½g·t² → t = 15/10 = 1.5 s

相遇高度

y = 10·1.5 − ½·9.81·1.5² = 3.964 m

答案

y = 3.964 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 34.59 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 24.52 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.248 N

系统的加速度

a = (39.24 − 24.52 − 4.248)/9 = 1.163 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9.81 − 1.163) = 34.59 N

答案

T = 34.59 N

5.抛体运动

答案: x = 11.24 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 25° = 10.88 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 25° = 5.071 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·5.071/9.81 = 1.034 s

水平距离

x = v_x·t = 10.88·1.034 = 11.24 m

答案

x = 11.24 m

6.抛体运动

答案: H = 28.29 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 14·sin 35° = 8.03 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 8.03²/(2·9.81) = 3.287 m

离地面的高度

H = 25 + 3.287 = 28.29 m

答案

H = 28.29 m

7.圆周运动

答案: θ = 14.13 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 22.22²/(200·9.81) = 0.2517

θ = 14.13°

答案

θ = 14.13°

8.圆周运动

答案: N_top = 34.34 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(7.5 − 2·2.5) = 49.05 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 3.5·49.05/2.5 − 34.34 = 34.34 N

答案

N_top = 34.34 N

9.功和能

答案: W_f = 28.93 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.8192 = 32.14 N

F = μN = 0.15·32.14 = 4.822 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.822·6 = 28.93 J

答案

W_f = 28.93 J

10.功和能

答案: v = 8.869 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 50.78 N

μ·mg·cos θ = 56.85 N

功–能关系

½mv² = (220 − 107.6)·7 = 786.6 J

v = √(2·786.6/20) = 8.869 m/s

答案

v = 8.869 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.167 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·7 = 1.167 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·7 = 8.167 m/s

答案

v′₁ = 1.167 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 8.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(10 + 18) = 8.4 N·s

答案

J = 8.4 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.5915 J

角频率

ω = √(70/3.1) = 4.752 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·70·0.13² = 0.5915 J

答案

E = 0.5915 J

15.波、声与光学

答案: m = −0.1111

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/50

d_i = 5.556 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −5.556/50 = −0.1111

答案

m = −0.1111

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 49.43 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.7596

θ = 49.43°

答案

θ₁ = 49.43°

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