物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 22 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 9.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 6.5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一个半径为 220 m 的弯道倾斜 15°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 220 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 180 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 180 mθ = 30°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 40°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 2 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 1000 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 22 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1400 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 25 m/sv_out = 8 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 300 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.65 m；波在其上以 120 m/s 传播。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 120 m/sn = 3L = 0.65 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 60 cm 的凹面镜前 10 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 10 cmR = 60 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 46.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3) = 46.3 m

答案

s = 46.3 m

2.运动学

答案: h_max = 222.9 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 22·2.5 = 55 m/s

h₁ = ½·22·2.5² = 68.75 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 55²/(2·9.81) = 154.2 m

h_max = 68.75 + 154.2 = 222.9 m

答案

h_max = 222.9 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 56.79 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 46.6 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (63.77 − 46.6 − 0)/16 = 1.073 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6.5·(9.81 − 1.073) = 56.79 N

答案

T = 56.79 N

5.抛体运动

答案: H = 1.784 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 5.917²/(2·9.81) = 1.784 m

答案

H = 1.784 m

6.抛体运动

答案: v = 27.79 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y0 = 24·sin 20° = 8.208 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.208² + 2·9.81·10) = 16.24 m/s

落水速度

v = √(22.55² + 16.24²) = 27.79 m/s

答案

v = 27.79 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v = 24.05 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(220·9.81·tan 15°) = 24.05 m/s

答案

v = 24.05 m/s

(86.57 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 47.37 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(180·9.81·0.8464/0.666) = 47.37 m/s

答案

v_max = 47.37 m/s

(170.5 km/h)

9.功和能

答案: T = 144 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 40°) = 9.18 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·9.18/2 = 144 N

答案

T = 144 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 144 N。

10.功和能

答案: d = 0.4534 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·1000·0.08² = 3.2 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3.2/(9.81·(0.6428 + 0.1·0.766)) = 0.4534 m

答案

d = 0.4534 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 56.25 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·22/3200 = 9.625 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·22² = 338800 J

K_after = ½·3200·9.625² = 148225 J

损失的比例

ΔK/K = 190575/338800 = 56.25 %

答案

ΔK/K = 56.25 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 198 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(8 + 25) = 9.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.9/0.05 = 198 N

答案

F_avg = 198 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.537 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

答案

T = 2.537 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.377 m/s

角频率

ω = √(300/3.1) = 9.837 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.14·9.837 = 1.377 m/s

答案

v_max = 1.377 m/s

15.波、声与光学

答案: f₃ = 276.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.65/3 = 0.4333 m

频率

f = v/λ = 120/0.4333 = 276.9 Hz

答案

f₃ = 276.9 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = −15 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 30 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/10

d_i = −15 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −15 cm

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