物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.5 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 20 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 25 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 12 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 37 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 12 m/sd = 37 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 36 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 29 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 50°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 40°μ = 0.15d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 6.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 6.8 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 22 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 22 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 3.8 kg 物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 3.8 kgk = 240 N/mA = 18 cmx = 5 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 8 cm 时的动能 K。

k = 230 N/mA = 11 cmx = 8 cm

K = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 7 次谐波必须为 800 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 7f₇ = 800 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.46，包层 n₂ = 1.41。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.46n₂ = 1.41

NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 135.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.5 = 50 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6.5) = 85.47 m

合计

d = 50 + 85.47 = 135.5 m

答案

d = 135.5 m

2.运动学

答案: t = 1.25 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 25/20 = 1.25 s

答案

t = 1.25 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1984

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·37) = 1.946 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.946/9.81 = 0.1984

答案

μ = 0.1984

4.牛顿定律

答案: a = 6.867 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 2.943)/6 = 6.867 m/s²

答案

a = 6.867 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 6.356 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 60° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 60° = 31.18 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·31.18/9.81 = 6.356 s

答案

t = 6.356 s

6.抛体运动

答案: x = 77.07 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 18.64 m/s, v_y = 22.22 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 22.22·t − 4.905·t²

t = (22.22 + √(22.22² − 2·9.81·8))/9.81 = 4.135 s

水平距离

x = v_x·t = 18.64·4.135 = 77.07 m

答案

x = 77.07 m

7.圆周运动

答案: v_max = 15.66 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·50) = 15.66 m/s

答案

v_max = 15.66 m/s (56.38 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: W_f = 72.14 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.766 = 30.06 N

F = μN = 0.15·30.06 = 4.509 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.509·16 = 72.14 J

答案

W_f = 72.14 J

10.功和能

答案: N = 39.89 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6.8 − 3) = 74.56 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·74.56/1.5 − 9.81 = 39.89 N

答案

N = 39.89 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·9 = 1 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·9 = 10 m/s

答案

v′₁ = 1 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 237.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(16 + 22) = 9.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.5/0.04 = 237.5 N

答案

F_avg = 237.5 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.374 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(240/3.8) = 7.947 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 7.947·√(0.18² − 0.05²) = 1.374 m/s

答案

v = 1.374 m/s

14.弹簧与单摆

答案: K = 0.6555 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·230·0.11² = 1.391 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·230·0.08² = 0.736 J

动能

K = 1.391 − 0.736 = 0.6555 J

答案

K = 0.6555 J

15.波、声与光学

答案: L = 0.7503 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/800 = 0.4288 m

长度

L = nλ/4 = 7·0.4288/4 = 0.7503 m

答案

L = 0.7503 m

16.波、声与光学

答案: NA = 0.3788

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.41/1.46 = 0.9658 → θc = 74.96°

数值孔径

NA = √(1.46² − 1.41²) = 0.3788

答案

NA = 0.3788

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