物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1300 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 95 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；5 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgF = 95 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 22 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 14 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的球系在长 1.3 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.6 kgr = 1.3 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 0.8 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3.5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 23 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体被沿正方向拉开 10 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.2 kgk = 240 N/mA = 10 cmt = 1 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一颗以 500 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 300 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 500 m/sM = 1.5 kgk = 300 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 8 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 8 cmf = 20 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 589 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.671 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1300) = 2.671 m/s²

答案

a = 2.671 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.799 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.799 s

答案

t = 3.799 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 59.38 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 7.848)/8 = 10.89 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(10.89 + 0.981) = 59.38 N

答案

T = 59.38 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 10.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14.14 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.14²/(2·9.81) = 10.19 m

答案

H = 10.19 m

6.抛体运动

答案: v = 28.01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 14·cos 20° = 13.16 m/s

v_y0 = 14·sin 20° = 4.788 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(4.788² + 2·9.81·30) = 24.73 m/s

落水速度

v = √(13.16² + 24.73²) = 28.01 m/s

答案

v = 28.01 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·105) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 21.45 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.3 = 59.24 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.6·59.24/1.3 − 0.6·9.81 = 21.45 N

答案

T_top = 21.45 N

9.功和能

答案: T = 3.924 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 60°) = 7.848 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·7.848/0.8 = 3.924 N

答案

T = 3.924 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 3.924 N。

10.功和能

答案: x = 56.03 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.1·3) = 313.9 J

最大压缩量

½kx² = 313.9 → x = √(2·313.9/2000) = 0.5603 m = 56.03 cm

答案

x = 56.03 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 348.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3.5)·1.981/0.02 = 348.6 m/s

答案

v = 348.6 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 5.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(5 + 23) = 5.6 N·s

答案

J = 5.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: x = −7.217 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(240/3.2) = 8.66 rad/s

ω·t = 8.66·1 = 8.66 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(8.66) = −7.217 cm

答案

x = −7.217 cm

14.弹簧与单摆

答案: A = 11.77 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·500/1.505 = 1.661 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(300/1.505) = 14.12 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.661/14.12 = 0.1177 m = 11.77 cm

答案

A = 11.77 cm

15.波、声与光学

答案: m = 1.667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/8

d_i = −13.33 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−13.33)/8 = 1.667

答案

m = 1.667

16.波、声与光学

答案: y₂ = 14.72 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 7.362 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·7.362 = 14.72 mm

答案

y₂ = 14.72 mm

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