物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 20 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 125 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 2 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 13 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 27 m/sv_out = 18 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.7 s，振幅为 8 cm。它从最大位移 8 cm 处运动到位移 6.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.7 sA = 8 cmx = 6.4 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 0.75 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 550 nma = 0.05 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

答案

s = 15 m

2.运动学

答案: y = 19.34 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 50/20 = 2.5 s

相遇高度

y = 20·2.5 − ½·9.81·2.5² = 19.34 m

答案

y = 19.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.359 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·6.369) = 6.359 m

答案

d = 6.359 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 37.63 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·125/sin 60°) = 37.63 m/s

答案

v₀ = 37.63 m/s

6.抛体运动

答案: t = 5.675 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20.78 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 20.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.78 + √(432 + 784.8))/9.81 = 5.675 s

答案

t = 5.675 s

7.圆周运动

答案: T = 2.701 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 2·sin 25° = 0.8452 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.8452·9.81·tan 25°) = 1.966 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.8452/1.966 = 2.701 s

答案

T = 2.701 s

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: v = 7.161 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 7.161 m/s

答案

v = 7.161 m/s

10.功和能

答案: d = 1.952 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(29.43·(0.5736 + 0.15·0.8192)) = 1.952 m

答案

d = 1.952 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·11 = −3.667 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·11 = 7.333 m/s

答案

v′₁ = −3.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 4.5 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(18 + 27) = 4.5 N·s

答案

J = 4.5 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.553 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

答案

L = 1.553 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.07169 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.7 = 8.976 rad/s

求解时间

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/8.976 = 0.07169 s

答案

t = 0.07169 s

15.波、声与光学

答案: f₇ = 800.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.75/7 = 0.4286 m

频率

f = v/λ = 343/0.4286 = 800.3 Hz

答案

f₇ = 800.3 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.6303 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.011

θ = 0.6303°

答案

θ₁ = 0.6303°

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