物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 130 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 130 Nθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 24 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 11 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 15 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 105 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 15 m/sr = 105 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 5.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 5.2 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 19 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.4 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.84 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.4 mT = 5.84 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 4 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 4 kgk = 220 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 343 m/sn = 3L = 0.75 m

f₃ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 532 nmd = 0.15 mmL = 2.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 105.8 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·1400) = 105.8 m/s

答案

v = 105.8 m/s

(381 km/h)

2.运动学

答案: t = 2.602 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.602 s

答案

t = 2.602 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.661 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 130·sin 30° = 131.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 112.6 − 39.36

a = 73.22/20 = 3.661 m/s²

答案

a = 3.661 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.8175 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 7.357)/9 = 0.8175 m/s²

答案

a = 0.8175 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 29.19 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/24² = 0.8516

相角

2θ = 58.38° → θ = 29.19°

答案

θ = 29.19°

另一个解为 90° − θ = 60.81°。

6.抛体运动

答案: α = 68.17 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 11·cos 40° = 8.426 m/s

v_y0 = 11·sin 40° = 7.071 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.071² + 2·9.81·20) = 21.03 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 21.03/8.426 → α = 68.17°

答案

α = 68.17°

7.圆周运动

答案: N = 8434 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·15²/105 = 10791 − 2357 = 8434 N

答案

N = 8434 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: d = 27.53 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.7·9.81) = 27.53 m

答案

d = 27.53 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 4.852 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.2 − 4) = 23.54 m²/s²

v = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·4 = 2 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·4 = 6 m/s

答案

v′₁ = 2 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 288 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(13 + 19) = 14.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14.4/0.05 = 288 N

答案

F_avg = 288 N

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/5.84² = 1.621 m/s²

答案

g = 1.621 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 7.7 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(220/4) = 7.416 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.14·7.416² = 7.7 m/s²

答案

a_max = 7.7 m/s²

15.波、声与光学

答案: f₃ = 343 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.75/3 = 1 m

频率

f = v/λ = 343/1 = 343 Hz

答案

f₃ = 343 Hz

16.波、声与光学

答案: y₅ = 44.33 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2.5/(0.15 × 10⁻³) = 8.867 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·8.867 = 44.33 mm

答案

y₅ = 44.33 mm

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