运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 100 km/ha = −6 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 14 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。
a1 = 1 m/s²t1 = 4 st2 = 14 sa3 = −2 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
一个 13 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 13 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 4 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 16 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 32 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。
v₀ = 32 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 50 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 0.8 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 0.8 kgr = 1.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个 2.5 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 Wf。
m = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.2d = 16 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。
m1 = 5 kgm2 = 2 kgμ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。
m1 = 5 kgm2 = 4 kgv1 = 2 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.35 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。
m = 0.35 kgvin = 20 m/svout = 14 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的 1 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 0.7 s 时它的速度 v（带符号）。
m = 1 kgk = 40 N/mA = 13 cmt = 0.7 s
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
一个 3 kg 的物体连在 k = 450 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。 求振动的总能量 E。
m = 3 kgk = 450 N/mA = 10 cm
E = J
15.波、声与光学中等
一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。
do = 4 cmf = 10 cm
di = cm
16.波、声与光学困难
一个物体位于曲率半径为 10 cm 的凸面镜前 30 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。
do = 30 cmR = 10 cm
m =
3溶液
1.运动学
答案: s = 64.3 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6) = 64.3 m
答案
s = 64.3 m
2.运动学
答案: s = 68 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
最高速度
v = a1·t1 = 1·4 = 4 m/s
各阶段的距离
s1 = ½·1·4² = 8 m
s2 = 4·14 = 56 m
s3 = 4²/(2·2) = 4 m
总距离
s = 8 + 56 + 4 = 68 m
答案
s = 68 m
3.牛顿定律
答案: a = 4.146 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²
答案
a = 4.146 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 22.85 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 3.924)/8.5 = 4.732 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 4·4.732 + 3.924 = 22.85 N
答案
T = 22.85 N
5.抛体运动
答案: x = 22.6 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 16·cos 30° = 13.86 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·8/9.81 = 1.631 s
水平距离
x = vx·t = 13.86·1.631 = 22.6 m
答案
x = 22.6 m
6.抛体运动
答案: H = 63.05 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
竖直方向的初速度
vy = 32·sin 30° = 16 m/s
高出悬崖的上升高度
Δh = vy²/(2g) = 16²/(2·9.81) = 13.05 m
离地面的高度
H = 50 + 13.05 = 63.05 m
答案
H = 63.05 m
7.圆周运动
答案: vmax = 15.66 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·50) = 15.66 m/s
答案
vmax = 15.66 m/s (56.38 km/h)
8.圆周运动
答案: T = 12.65 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 0.8·9.81 + 0.8·3²/1.5 = 7.848 + 4.8 = 12.65 N
答案
T = 12.65 N
9.功和能
答案: Wf = 73.75 J
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
摩擦力
N = mg·cos θ = 24.53·0.9397 = 23.05 N
F = μN = 0.2·23.05 = 4.609 N
克服摩擦做的功
Wf = F·d = 4.609·16 = 73.75 J
答案
Wf = 73.75 J
10.功和能
答案: v = 2.368 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
释放和损失的能量
m₂g·d = 19.62·2 = 39.24 J
μ·m₁g·d = 0.2·49.05·2 = 19.62 J
两个物块的动能
½(m₁ + m₂)v² = 19.62 → v = √(2·19.62/7) = 2.368 m/s
答案
v = 2.368 m/s
11.动量与碰撞
答案: v′1 = 0.2222 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
与静止物体的弹性碰撞
联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。
v′1 = (5 − 4)/(5 + 4)·2 = 0.2222 m/s
v′2 = 2·5/(5 + 4)·2 = 2.222 m/s
答案
v′1 = 0.2222 m/s
12.动量与碰撞
答案: J = 11.9 N·s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.35·(14 + 20) = 11.9 N·s
答案
J = 11.9 N·s
13.弹簧与单摆
答案: v = 0.789 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(40/1) = 6.325 rad/s
ω·t = 6.325·0.7 = 4.427 rad
速度
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·6.325·sin(4.427) = 0.789 m/s
答案
v = 0.789 m/s
14.弹簧与单摆
答案: E = 2.25 J
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(450/3) = 12.25 rad/s
能量
E = ½·k·A² = ½·450·0.1² = 2.25 J
答案
E = 2.25 J
15.波、声与光学
答案: di = −6.667 cm
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
薄透镜方程
1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/4
di = −6.667 cm
光线图
虚像，与物体在同一侧
答案
di = −6.667 cm
16.波、声与光学
答案: m = 0.1429
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
焦距
f = −R/2 = −5 cm
镜面方程
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/30
di = −4.286 cm
放大率
m = −(−4.286)/30 = 0.1429
答案
m = 0.1429
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics