物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；11 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 11 kgm₂ = 1 kgF = 90 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.6 kgr = 0.9 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 11 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 15°μ = 0.1d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 4.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 0.5 kgh = 4.8 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 15 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1000 kgd = 15 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 70 N/m 弹簧上的 0.2 kg 物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 0.2 kgk = 70 N/mA = 12 cmx = 6 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.2 kgk = 420 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

频率为 300 Hz 的声源以 30 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求第 3 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₃。

λ = 589 nma = 0.08 mmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.472 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/4 = 3.472 s

答案

t = 3.472 s

2.运动学

答案: d = 74 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1406 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1406))/(2·4.905) = 3.884 s

深度

d = ½·9.81·3.884² = 74 m

答案

d = 74 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 82.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 23.54)/12 = 5.538 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(5.538 + 1.962) = 82.5 N

答案

T = 82.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 79.96 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·29/9.81 = 5.913 s

水平距离

x = v_x·t = 13.52·5.913 = 79.96 m

答案

x = 79.96 m

6.抛体运动

答案: x = 84.84 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 15° = 32.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 15° = 8.8 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 8.8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.8 + √(77.44 + 196.2))/9.81 = 2.583 s

水平距离

x = v_x·t = 32.84·2.583 = 84.84 m

答案

x = 84.84 m

7.圆周运动

答案: v_max = 27.12 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·150) = 27.12 m/s

答案

v_max = 27.12 m/s (97.65 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 22.55 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·5²/0.9 = 5.886 + 16.67 = 22.55 N

答案

T = 22.55 N

9.功和能

答案: W_f = 20.85 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9659 = 18.95 N

F = μN = 0.1·18.95 = 1.895 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.895·11 = 20.85 J

答案

W_f = 20.85 J

10.功和能

答案: N = 6.867 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.8 − 3) = 35.32 m²/s²

顶点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·35.32/1.5 − 4.905 = 6.867 N

答案

N = 6.867 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·11 = 1.571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·11 = 12.57 m/s

答案

v′₁ = 1.571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 21.46 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·15) = 12.13 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·12.13/1300 = 21.46 m/s

答案

v₁ = 21.46 m/s

(77.26 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.944 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(70/0.2) = 18.71 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 18.71·√(0.12² − 0.06²) = 1.944 m/s

答案

v = 1.944 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.684 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(420/1.2) = 18.71 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.09·18.71 = 1.684 m/s

答案

v_max = 1.684 m/s

15.波、声与光学

答案: f′ = 328.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 328.8 Hz

答案

f′ = 328.8 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 1.266 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.02209

θ = 1.266°

答案

θ₃ = 1.266°

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