物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 110 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 110 Nθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 26 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 35° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.5 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.9 kgr = 0.7 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.1d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 45 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 6 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 45 Nθ = 30°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.32 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 1.32 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.5 s，振幅为 14 cm。它从最大位移 14 cm 处运动到位移 12.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.5 sA = 14 cmx = 12.6 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 80 dB 的声级。当 5 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 80 dBn = 5

β = dB

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 633 nma = 0.15 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.68 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1800) = 1.68 m/s²

答案

a = 1.68 m/s²

2.运动学

答案: t = 21.51 s

动力阶段

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (84 + √(84² + 2·9.81·126))/9.81 = 18.51 s

t = 3 + 18.51 = 21.51 s

答案

t = 21.51 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5729 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 110·sin 40° = 223.6 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 84.26 − 67.08

a = 17.19/30 = 0.5729 m/s²

答案

a = 0.5729 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.453 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 11.04)/7.5 = 2.453 m/s²

答案

a = 2.453 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 22.56 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/30² = 0.7085

相角

2θ = 45.11° → θ = 22.56°

答案

θ = 22.56°

另一个解为 90° − θ = 67.44°。

6.抛体运动

答案: H = 64.03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 26·sin 20° = 8.893 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 8.893²/(2·9.81) = 4.03 m

离地面的高度

H = 60 + 4.03 = 64.03 m

答案

H = 64.03 m

7.圆周运动

答案: v = 1.404 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.5·sin 35° = 0.2868 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2868·9.81·tan 35°) = 1.404 m/s

答案

v = 1.404 m/s

8.圆周运动

答案: T = 34.86 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·4.5²/0.7 = 8.829 + 26.04 = 34.86 N

答案

T = 34.86 N

9.功和能

答案: W_f = 120.2 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.1·75.15 = 7.515 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 7.515·16 = 120.2 J

答案

W_f = 120.2 J

10.功和能

答案: v = 6.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 24.52 N

μ·mg·cos θ = 4.248 N

功–能关系

½mv² = (45 − 28.77)·6 = 97.36 J

v = √(2·97.36/5) = 6.241 m/s

答案

v = 6.241 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.154 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 5)/(1.5 + 5)·9 = −4.846 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 5)·9 = 4.154 m/s

答案

v′₂ = 4.154 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(19 + 21) = 6 N·s

答案

J = 6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 24.92 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/1.32² = 24.92 m/s²

答案

g = 24.92 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1795 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.5 = 2.513 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/2.513 = 0.1795 s

答案

t = 0.1795 s

15.波、声与光学

答案: β = 86.99 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 5·I₁

难度

β = 80 + 10·log₁₀(5) = 86.99 dB

答案

β = 86.99 dB

16.波、声与光学

答案: w = 25.32 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 633 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 12.66 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 25.32 mm

答案

w = 25.32 mm

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