物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 22 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 22 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 12 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 12 m/sθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.7 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 15° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.7 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个半径为 50 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 50 mθ = 15°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.35d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 17 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 2000 kgd = 17 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.15 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.1 kgk = 190 N/mA = 11 cmt = 1.15 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 70 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.3 kgk = 70 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 15 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 15 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 650 nmd = 0.4 mmL = 2 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 22 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/2 = 22 s

答案

t = 22 s

此时警车的速度为 2v = 44 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.607 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.607 s

答案

t = 4.607 s

3.牛顿定律

答案: a = 8.502 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7 − 0.5)·9.81/(7 + 0.5) = 8.502 m/s²

答案

a = 8.502 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 11.2 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.1·cos 35°) = 6.43 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·6.43) = 11.2 m

答案

d = 11.2 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.23 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 110°) = 38.23 m/s

答案

v₀ = 38.23 m/s

6.抛体运动

答案: H = 36.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 14·sin 55° = 11.47 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.47²/(2·9.81) = 6.703 m

离地面的高度

H = 30 + 6.703 = 36.7 m

答案

H = 36.7 m

7.圆周运动

答案: T = 2.571 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.7·sin 15° = 0.44 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.44·9.81·tan 15°) = 1.075 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.44/1.075 = 2.571 s

答案

T = 2.571 s

8.圆周运动

答案: v_max = 16.5 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(50·9.81·0.5003/0.9012) = 16.5 m/s

答案

v_max = 16.5 m/s

(59.4 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 84.17 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.766 = 15.03 N

F = μN = 0.35·15.03 = 5.26 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.26·16 = 84.17 J

答案

W_f = 84.17 J

10.功和能

答案: x = 20.3 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.2·2) = 41.2 J

最大压缩量

½kx² = 41.2 → x = √(2·41.2/2000) = 0.203 m = 20.3 cm

答案

x = 20.3 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·9 = −3 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·9 = 6 m/s

答案

v′₂ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 31.83 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·17) = 14.15 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·14.15/1600 = 31.83 m/s

答案

v₁ = 31.83 m/s

(114.6 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.8091 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(190/1.1) = 13.14 rad/s

ω·t = 13.14·1.15 = 15.11 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·13.14·sin(15.11) = −0.8091 m/s

答案

v = −0.8091 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.222 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(70/0.3) = 15.28 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.08·15.28 = 1.222 m/s

答案

v_max = 1.222 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = 60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/15

d_i = 60 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 60 cm

16.波、声与光学

答案: y₂ = 6.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·2/(0.4 × 10⁻³) = 3.25 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·3.25 = 6.5 mm

答案

y₂ = 6.5 mm

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