物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s 抛出，必须落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 18 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.9 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 30° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.9 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 1.1 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 33 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。13 kg 的碎片以 50 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 33 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 28 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 0.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

把一个 0.8 kg 的物体挂在一根 k = 420 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 0.8 kgk = 420 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一个高 4 cm 的物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 4 cmd_o = 50 cmf = 5 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 300 mm⁻¹λ = 532 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 9.091 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5.5) = 9.091 m

答案

s = 9.091 m

2.运动学

答案: d = 28.64 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 857.5 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·857.5))/(2·4.905) = 2.416 s

深度

d = ½·9.81·2.416² = 28.64 m

答案

d = 28.64 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.09 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/9 = 1.09 m/s²

答案

a = 1.09 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 32.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/18² = 0.9083

相角

2θ = 65.28° → θ = 32.64°

答案

θ = 32.64°

另一个解为 90° − θ = 57.36°。

6.抛体运动

答案: t = 3.635 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 20° = 26.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 20° = 9.577 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 9.577·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.577 + √(91.71 + 588.6))/9.81 = 3.635 s

答案

t = 3.635 s

7.圆周运动

答案: v = 1.596 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.9·sin 30° = 0.45 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.45·9.81·tan 30°) = 1.596 m/s

答案

v = 1.596 m/s

8.圆周运动

答案: T = 8.466 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·4.5²/1.1 = 2.943 + 5.523 = 8.466 N

答案

T = 8.466 N

9.功和能

答案: W_f = 4.509 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.2·3.757 = 0.7515 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.7515·6 = 4.509 J

答案

W_f = 4.509 J

10.功和能

答案: x = 28.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.2·5) = 39.24 J

最大压缩量

½kx² = 39.24 → x = √(2·39.24/1000) = 0.2801 m = 28.01 cm

答案

x = 28.01 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.429 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 20·33 = 660 kg·m/s

碰撞后的动量

660 = 13·50 + 7·v′₂

v′₂ = (660 − 650)/7 = 1.429 m/s

答案

v′₂ = 1.429 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 184 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(18 + 28) = 9.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.2/0.05 = 184 N

答案

F_avg = 184 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.159 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答案

L = 0.159 m

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 3.737 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/420 = 0.01869 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.03737 m = 3.737 cm

答案

x_max = 3.737 cm

15.波、声与光学

答案: h_i = −0.4444 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/50

d_i = 5.556 cm

放大率与像高

m = −5.556/50 = −0.1111

h_i = −0.1111·4 = −0.4444 cm

答案

h_i = −0.4444 cm

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 9.184 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·532 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.1596

θ = 9.184°

答案

θ₁ = 9.184°

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