物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 24 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 24 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 70 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 10 kgF = 70 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 45 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 25 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 70 km/h 通过半径为 300 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 300 mv = 70 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 9 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 80 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 80 Nθ = 35°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1500 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1800 kgd = 12.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 3 kg 物体被沿正方向拉开 7 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3 kgk = 180 N/mA = 7 cmt = 0.25 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1400 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 350 m/sM = 0.5 kgk = 1400 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 25 m 处的声级 β₂。

β₁ = 80 dBr₁ = 5 mr₂ = 25 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 500 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.472 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/8 = 3.472 s

答案

t = 3.472 s

2.运动学

答案: s = 604.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·12 = 18 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·12² = 108 m

s₂ = 18·24 = 432 m

s₃ = 18²/(2·2.5) = 64.8 m

总距离

s = 108 + 432 + 64.8 = 604.8 m

答案

s = 604.8 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.285 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 70·sin 35° = 57.95 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 57.34 − 14.49

a = 42.85/10 = 4.285 m/s²

答案

a = 4.285 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 18.7 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 16.19)/7.5 = 0.4578 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·0.4578 + 16.19 = 18.7 N

答案

T = 18.7 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 22.58 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 120°) = 22.58 m/s

答案

v₀ = 22.58 m/s

6.抛体运动

答案: α = 63.82 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 25·cos 45° = 17.68 m/s

v_y0 = 25·sin 45° = 17.68 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(17.68² + 2·9.81·50) = 35.97 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 35.97/17.68 → α = 63.82°

答案

α = 63.82°

7.圆周运动

答案: θ = 7.321 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 19.44²/(300·9.81) = 0.1285

θ = 7.321°

答案

θ = 7.321°

8.圆周运动

答案: v_min = 2.426 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答案

v_min = 2.426 m/s

9.功和能

答案: v = 5.896 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.5 − 0.35·0.866)) = 5.896 m/s

答案

v = 5.896 m/s

10.功和能

答案: v = 5.628 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 45.01 N

μ·mg·cos θ = 9.643 N

功–能关系

½mv² = (80 − 54.66)·5 = 126.7 J

v = √(2·126.7/8) = 5.628 m/s

答案

v = 5.628 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·12 = 1.091 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·12 = 13.09 m/s

答案

v′₁ = 1.091 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.83 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·12.5) = 13.1 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·13.1/1500 = 28.83 m/s

答案

v₁ = 28.83 m/s

(103.8 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = −2.503 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(180/3) = 7.746 rad/s

ω·t = 7.746·0.25 = 1.936 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(1.936) = −2.503 cm

答案

x = −2.503 cm

14.弹簧与单摆

答案: A = 10.5 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·350/0.508 = 5.512 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/0.508) = 52.5 rad/s

振幅

A = V/ω = 5.512/52.5 = 0.105 m = 10.5 cm

答案

A = 10.5 cm

15.波、声与光学

答案: β₂ = 66.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (5/25)² = 0.04

新的声级

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.04) = 66.02 dB

答案

β₂ = 66.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 36.87 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·500 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.6

θ = 36.87°

答案

θ₁ = 36.87°

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