物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 0.8 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 30 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 40 mv_0B = 30 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 17 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 65 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 17 m/sr = 65 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 25.2 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 0.5 kgh = 25.2 mR = 7 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 3.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 5 kgh = 3.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 13 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1500 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.4 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.84 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.4 mT = 5.84 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 120 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.3 kgk = 120 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 12 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 12 cmf = −25 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = −20 cms = 60 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 70.45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.8 = 22.22 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m

合计

d = 22.22 + 48.23 = 70.45 m

答案

d = 70.45 m

2.运动学

答案: y = 31.28 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 40/30 = 1.333 s

相遇高度

y = 30·1.333 − ½·9.81·1.333² = 31.28 m

答案

y = 31.28 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.972 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答案

a = 1.972 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 45.03 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 16.78 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.218 N

系统的加速度

a = (73.58 − 16.78 − 9.218)/12.5 = 3.806 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 3.806) = 45.03 N

答案

T = 45.03 N

5.抛体运动

答案: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/30² = 0.4905

相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答案

θ = 14.69°

另一个解为 90° − θ = 75.31°。

6.抛体运动

答案: x = 117.6 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 15° = 28.01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 15° = 7.506 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 7.506·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.506 + √(56.34 + 1079))/9.81 = 4.2 s

水平距离

x = v_x·t = 28.01·4.2 = 117.6 m

答案

x = 117.6 m

7.圆周运动

答案: N = 5900 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·17²/65 = 10791 − 4891 = 5900 N

答案

N = 5900 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: N_top = 10.79 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(25.2 − 2·7) = 219.7 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 0.5·219.7/7 − 4.905 = 10.79 N

答案

N_top = 10.79 N

9.功和能

答案: h = 5.097 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/0.4905 = 5.097 m

答案

h = 5.097 m

10.功和能

答案: v = 5.425 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3.5 − 2) = 29.43 m²/s²

v = 5.425 m/s

答案

v = 5.425 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.857 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·6 = 0.8571 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·6 = 6.857 m/s

答案

v′₂ = 6.857 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 43.03 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1500·13 = 19500 kg·m/s

p_y = 1400·13 = 18200 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.9333 → θ = 43.03°

答案

θ = 43.03°

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/5.84² = 1.621 m/s²

答案

g = 1.621 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 80 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(120/0.3) = 20 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.2·20² = 80 m/s²

答案

a_max = 80 m/s²

15.波、声与光学

答案: d_i = −8.108 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/12

d_i = −8.108 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −8.108 cm

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −14.62 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/40 → d_i1 = 5.714 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − 5.714 = 54.29 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/54.29 → d_i2 = −14.62 cm

答案

d_i2 = −14.62 cm

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