物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 50°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 13 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1000 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1000 kgv = 6 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.7 kgr = 0.8 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 1.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 11.3 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 11.3 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 20 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.8 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.42 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.8 mT = 4.42 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 4 s，振幅为 15 cm。它从最大位移 15 cm 处运动到位移 12 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 4 sA = 15 cmx = 12 cm

t = s

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 5 次谐波必须为 500 Hz；波在其上以 120 m/s 传播。求其长度 L。

v = 120 m/sn = 5f₅ = 500 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 20 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 82.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

答案

s = 82.3 m

2.运动学

答案: t = 4.914 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.914 s

答案

t = 4.914 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.9343 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/10.5 = 0.9343 m/s²

答案

a = 0.9343 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 6.566 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 16·cos 50° = 10.28 m/s

t = x/v_x = 8/10.28 = 0.7779 s

此时的高度

y = 12.26·0.7779 − ½·9.81·0.7779² = 6.566 m

答案

y = 6.566 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 38.76 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 25° = 11.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 25° = 5.494 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 5.494·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.494 + √(30.18 + 686.7))/9.81 = 3.289 s

水平距离

x = v_x·t = 11.78·3.289 = 38.76 m

答案

x = 38.76 m

7.圆周运动

答案: N = 8370 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9.81 − 1000·6²/25 = 9810 − 1440 = 8370 N

答案

N = 8370 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 108.4 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·0.8 = 58.86 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.7·58.86/0.8 − 1.7·9.81 = 108.4 N

答案

T_top = 108.4 N

9.功和能

答案: T = 39.24 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 60°) = 14.71 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·14.71/1.5 = 39.24 N

答案

T = 39.24 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 39.24 N。

10.功和能

答案: N = 79.26 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(11.3 − 5) = 123.6 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·123.6/2.5 − 19.62 = 79.26 N

答案

N = 79.26 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 469.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4)·1.172/0.01 = 469.9 m/s

答案

v = 469.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 15.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(19 + 20) = 15.6 N·s

答案

J = 15.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.617 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.8/4.42² = 1.617 m/s²

答案

g = 1.617 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4097 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/4 = 1.571 rad/s

求解时间

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/1.571 = 0.4097 s

答案

t = 0.4097 s

15.波、声与光学

答案: L = 0.6 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 120/500 = 0.24 m

长度

L = nλ/2 = 5·0.24/2 = 0.6 m

答案

L = 0.6 m

16.波、声与光学

答案: f″ = 17796 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 20)/343 = 18834 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 20) = 17796 Hz

答案

f″ = 17796 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics