物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 0.7 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 125 N 的水平力拉前面 4 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgF = 125 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 21 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2.5 kgh = 21 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 5.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1100 kgd = 5.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 200 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 1200 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 200 m/sM = 3 kgk = 1200 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 343 m/sn = 4L = 0.75 m

f₄ = Hz

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.46，包层 n₂ = 1.44。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.46n₂ = 1.44n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·0.7 = 21 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7.5) = 60 m

合计

d = 21 + 60 = 81 m

答案

d = 81 m

2.运动学

答案: t = 5.078 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.078 s

答案

t = 5.078 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 41.67 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 8.829)/6 = 19.36 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(19.36 + 1.472) = 41.67 N

答案

T = 41.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 13.05 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 30° = 27.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 30° = 16 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

答案

H = 13.05 m

6.抛体运动

答案: t = 3.186 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 45° = 7.778 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 45° = 7.778 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 7.778·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.778 + √(60.5 + 490.5))/9.81 = 3.186 s

答案

t = 3.186 s

7.圆周运动

答案: v_max = 15.66 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·50) = 15.66 m/s

答案

v_max = 15.66 m/s (56.38 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 12.02 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·5.5²/1 = 2.943 + 9.075 = 12.02 N

答案

T = 12.02 N

9.功和能

答案: d = 50.34 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.5·9.81) = 50.34 m

答案

d = 50.34 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: N = 13.73 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·58.86/2.5 − 9.81 = 13.73 N

答案

N = 13.73 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 1017 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.21) = 2.03 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2.5)·2.03/0.005 = 1017 m/s

答案

v = 1017 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 13.72 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·5.5) = 8.691 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·8.691/1900 = 13.72 m/s

答案

v₁ = 13.72 m/s

(49.4 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.457 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答案

T = 2.457 s

14.弹簧与单摆

答案: A = 1.665 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·200/3.005 = 0.3328 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/3.005) = 19.98 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.3328/19.98 = 0.01665 m = 1.665 cm

答案

A = 1.665 cm

15.波、声与光学

答案: f₄ = 914.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/4 = 0.375 m

频率

f = v/λ = 343/0.375 = 914.7 Hz

答案

f₄ = 914.7 Hz

16.波、声与光学

答案: θ_a = 13.94 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.44/1.46 = 0.9863 → θc = 80.51°

数值孔径

NA = √(1.46² − 1.44²) = 0.2408

接收角

θ_a = arcsin(0.2408) = 13.94°

答案

θ_a = 13.94°

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