物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 29 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 7 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.4 kgr = 0.9 mv_bottom = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 200 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1600 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 2000 kgm₂ = 1600 kgd = 16 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

把一个 1 kg 的物体挂在一根 k = 400 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1 kgk = 400 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 15 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 15 cmf = 8 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.25 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.2 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y₄。

λ = 532 nmd = 0.25 mmL = 1.2 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.556 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6 = 5.556 s

答案

t = 5.556 s

2.运动学

答案: t = 2.331 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.331 s

答案

t = 2.331 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 19.62 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/9 = 6.54 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·6.54 + 0 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N

5.抛体运动

答案: H = 13.56 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 16.31²/(2·9.81) = 13.56 m

答案

H = 13.56 m

6.抛体运动

答案: α = 47.44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 29·cos 35° = 23.76 m/s

v_y0 = 29·sin 35° = 16.63 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.63² + 2·9.81·20) = 25.87 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 25.87/23.76 → α = 47.44°

答案

α = 47.44°

7.圆周运动

答案: v_max = 29.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·125) = 29.3 m/s

答案

v_max = 29.3 m/s (105.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 7.552 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 7² − 4·9.81·0.9 = 13.68 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·13.68/0.9 − 1.4·9.81 = 7.552 N

答案

T_top = 7.552 N

9.功和能

答案: h = 0.261 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·200·0.08² = 0.64 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/2.453 = 0.261 m

答案

h = 0.261 m

10.功和能

答案: d = 1.46 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(49.05·(0.4226 + 0.15·0.9063)) = 1.46 m

答案

d = 1.46 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·5 = 3.333 m/s

答案

v′₁ = −1.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.62 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·16) = 15.34 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·15.34/2000 = 27.62 m/s

答案

v₁ = 27.62 m/s

(99.43 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.3578 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.2/2π)² = 0.3578 m

答案

L = 0.3578 m

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 4.905 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1·9.81/400 = 0.02453 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.04905 m = 4.905 cm

答案

x_max = 4.905 cm

15.波、声与光学

答案: m = −1.143

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/15

d_i = 17.14 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −17.14/15 = −1.143

答案

m = −1.143

16.波、声与光学

答案: y₄ = 10.21 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.2/(0.25 × 10⁻³) = 2.554 mm

第 4 条条纹

y₄ = 4·2.554 = 10.21 mm

答案

y₄ = 10.21 mm

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