运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1600 m 后的速度 v。
v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1600 m
v = m/s
2.运动学困难
从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。
v₀ = 5 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.3 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。
v₀ = 2.5 m/sd = 1.3 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 3 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。
v0 = 22 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
一个球 从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 26 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 135 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个半径为 220 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。
r = 220 mθ = 30°μs = 0.2g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
一个 1 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。
m = 1 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
一个 15 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 165 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。
m = 15 kgF = 165 Nθ = 25°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
一辆以 25 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？
m1 = 2000 kgv1 = 25 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
一个 0.55 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.55 kgvin = 25 m/svout = 11 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 3.9 kg 物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。
m = 3.9 kgk = 80 N/mA = 7 cmx = 6 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
一颗以 500 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 8 gv = 500 m/sM = 1.5 kgk = 1700 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
两端固定的弦长 0.6 m；波在其上以 150 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f4。
v = 150 m/sn = 4L = 0.6 m
f4 = Hz
16.波、声与光学困难
静止的传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。
f = 20 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3溶液
1.运动学
答案: v = 113.1 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
经过该距离后的速度
v = √(2·a·s) = √(2·4·1600) = 113.1 m/s
答案
v = 113.1 m/s
(407.3 km/h)
2.运动学
答案: t = 2.592 s
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
运动方程
向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。
−20 = 5·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 5·t − 20 = 0
解一元二次方程
只有正根有物理意义。
t = (5 + √(5² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.592 s
答案
t = 2.592 s
3.牛顿定律
答案: μ = 0.245
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
减速度
a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.3) = 2.404 m/s²
摩擦因数
μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.404/9.81 = 0.245
答案
μ = 0.245
4.牛顿定律
答案: a = 5.482 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 7.357)/8.5 = 5.482 m/s²
答案
a = 5.482 m/s²
5.抛体运动
答案: H = 8.116 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s
vy = v0·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s
最高点
在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。
H = vy²/(2g) = 12.62²/(2·9.81) = 8.116 m
答案
H = 8.116 m
6.抛体运动
答案: x = 100.2 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 26·cos 40° = 19.92 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 40° = 16.71 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 40 + 16.71·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (16.71 + √(279.3 + 784.8))/9.81 = 5.029 s
水平距离
x = vx·t = 19.92·5.029 = 100.2 m
答案
x = 100.2 m
7.圆周运动
答案: vmax = 30.45 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·135) = 30.45 m/s
答案
vmax = 30.45 m/s (109.6 km/h)
8.圆周运动
答案: vmax = 43.55 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
力的平衡
摩擦力沿斜面向下。
N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g
速率
v = √(220·9.81·0.6732/0.766) = 43.55 m/s
答案
vmax = 43.55 m/s
(156.8 km/h)
9.功和能
答案: T = 16.82 N
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。
最低点的速度
v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²
最低点的受力
m·g = 1·9.81 = 9.81 N
T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·21.03/3 = 16.82 N
答案
T = 16.82 N
校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。
10.功和能
答案: v = 7.43 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
沿斜面方向的力
m·g = 15·9.81 = 147.2 N
mg·sin θ = 62.19 N
μ·mg·cos θ = 20 N
功–能关系
½mv² = (165 − 82.19)·5 = 414 J
v = √(2·414/15) = 7.43 m/s
答案
v = 7.43 m/s
11.动量与碰撞
答案: ΔK/K = 31.03 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 2000·25/2900 = 17.24 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·2000·25² = 625000 J
Kafter = ½·2900·17.24² = 431034 J
损失的比例
ΔK/K = 193966/625000 = 31.03 %
答案
ΔK/K = 31.03 %
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: Favg = 1980 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.55·(11 + 25) = 19.8 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 19.8/0.01 = 1980 N
答案
Favg = 1980 N
13.弹簧与单摆
答案: v = 0.1633 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(80/3.9) = 4.529 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 4.529·√(0.07² − 0.06²) = 0.1633 m/s
答案
v = 0.1633 m/s
14.弹簧与单摆
答案: A = 7.9 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.008·500/1.508 = 2.653 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1.508) = 33.58 rad/s
振幅
A = V/ω = 2.653/33.58 = 0.079 m = 7.9 cm
答案
A = 7.9 cm
15.波、声与光学
答案: f4 = 500 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
该模式的波长
λ = 2L/n = 2·0.6/4 = 0.3 m
频率
f = v/λ = 150/0.3 = 500 Hz
答案
f4 = 500 Hz
16.波、声与光学
答案: fb = 591.7 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
汽车处的频率
f′ = 20000·(343 + 5)/343 = 20292 Hz
回波的频率
f″ = f′·343/(343 − 5) = 20592 Hz
拍频
fb = |f″ − f| = 591.7 Hz
答案
fb = 591.7 Hz
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