物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 40 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的球系在长 0.7 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.3 kgr = 0.7 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 10 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.2d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 20 m/s 水平运动的 8 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。6 kg 的碎片以 49 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 8 kgu = 20 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 49 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1000 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.4 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.4 kgk = 470 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.5 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.2 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y₄。

λ = 532 nmd = 0.4 mmL = 1.2 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.944 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4 = 6.944 s

答案

t = 6.944 s

2.运动学

答案: d = 95.85 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1612))/(2·4.905) = 4.421 s

深度

d = ½·9.81·4.421² = 95.85 m

答案

d = 95.85 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 16.6 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 3.924)/6.5 = 3.169 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·3.169 + 3.924 = 16.6 N

答案

T = 16.6 N

5.抛体运动

答案: H = 54.72 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 55° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 55° = 32.77 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 32.77²/(2·9.81) = 54.72 m

答案

H = 54.72 m

6.抛体运动

答案: x = 73.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.208·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.208 + √(67.38 + 490.5))/9.81 = 3.244 s

水平距离

x = v_x·t = 22.55·3.244 = 73.17 m

答案

x = 73.17 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·90) = 26.58 m/s

答案

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 12.71 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.7 = 36.53 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·36.53/0.7 − 0.3·9.81 = 12.71 N

答案

T_top = 12.71 N

9.功和能

答案: v = 6.881 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 6.881 m/s

答案

v = 6.881 m/s

10.功和能

答案: x = 41.55 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.15·4) = 215.8 J

最大压缩量

½kx² = 215.8 → x = √(2·215.8/2500) = 0.4155 m = 41.55 cm

答案

x = 41.55 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −67 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 8·20 = 160 kg·m/s

碰撞后的动量

160 = 6·49 + 2·v′₂

v′₂ = (160 − 294)/2 = −67 m/s

答案

v′₂ = −67 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 12.61 m/s

动量分量

p_x = 1000·14 = 14000 kg·m/s

p_y = 1800·18 = 32400 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 35295/2800 = 12.61 m/s

答案

v′ = 12.61 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.554 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s

答案

T = 1.554 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.9406 m/s

角频率

ω = √(470/3.4) = 11.76 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.08·11.76 = 0.9406 m/s

答案

v_max = 0.9406 m/s

15.波、声与光学

答案: f₅ = 857.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.5/5 = 0.4 m

频率

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

答案

f₅ = 857.5 Hz

16.波、声与光学

答案: y₄ = 6.384 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.2/(0.4 × 10⁻³) = 1.596 mm

第 4 条条纹

y₄ = 4·1.596 = 6.384 mm

答案

y₄ = 6.384 mm

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