物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 30 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 15 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 5.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 18 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 60°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.4 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.4 kgr = 0.9 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1800 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.5 kgk = 470 N/mA = 2 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 0.65 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/6 = 10 s

答案

t = 10 s

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: t = 0.6522 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 15/23 = 0.6522 s

答案

t = 0.6522 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.962 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 5)·9.81/(7.5 + 5) = 1.962 m/s²

答案

a = 1.962 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.204 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 22.8 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.335 N

系统的加速度

a = (93.2 − 22.8 − 7.335)/15 = 4.204 m/s²

答案

a = 4.204 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 26.2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 90°) = 26.2 m/s

答案

v₀ = 26.2 m/s

6.抛体运动

答案: x = 26.75 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 9 m/s, v_y = 15.59 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 15.59·t − 4.905·t²

t = (15.59 + √(15.59² − 2·9.81·3))/9.81 = 2.972 s

水平距离

x = v_x·t = 9·2.972 = 26.75 m

答案

x = 26.75 m

7.圆周运动

答案: v_max = 23.44 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·70) = 23.44 m/s

答案

v_max = 23.44 m/s (84.38 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 25.7 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·7²/0.9 = 3.924 + 21.78 = 25.7 N

答案

T = 25.7 N

9.功和能

答案: W_f = 83.24 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.4·17.34 = 6.937 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.937·12 = 83.24 J

答案

W_f = 83.24 J

10.功和能

答案: v = 6.342 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.1·4.5) = 80.44 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.05) = 6.342 m/s

答案

v = 6.342 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 992.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4)·1.981/0.008 = 992.4 m/s

答案

v = 992.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 13.39 m/s

动量分量

p_x = 1800·16 = 28800 kg·m/s

p_y = 1300·23 = 29900 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 41514/3100 = 13.39 m/s

答案

v′ = 13.39 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.457 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答案

T = 2.457 s

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.094 J

角频率

ω = √(470/3.5) = 11.59 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·470·0.02² = 0.094 J

答案

E = 0.094 J

15.波、声与光学

答案: f₇ = 923.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.65/7 = 0.3714 m

频率

f = v/λ = 343/0.3714 = 923.5 Hz

答案

f₇ = 923.5 Hz

16.波、声与光学

答案: f″ = 23834 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 30)/343 = 21749 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 23834 Hz

答案

f″ = 23834 Hz

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