物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 1.1 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 38 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 150 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 150 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 25 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 2000 kgd = 25 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 500 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.9 kgk = 500 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个高 5 cm 的物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 40 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 5 cmd_o = 40 cmf = 25 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 10 cm 的凸面镜前 15 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 15 cmR = 10 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 100.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.1 = 30.56 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5.5) = 70.15 m

合计

d = 30.56 + 70.15 = 100.7 m

答案

d = 100.7 m

2.运动学

答案: h_max = 370.4 m

动力阶段

v₁ = 38·2 = 76 m/s

h₁ = ½·38·2² = 76 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 76²/(2·9.81) = 294.4 m

h_max = 76 + 294.4 = 370.4 m

答案

h_max = 370.4 m

3.牛顿定律

答案: F = 85.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 63.06 + 22.54 = 85.6 N

答案

F = 85.6 N

4.牛顿定律

答案: T = 13.38 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 3.679)/5.5 = 6.466 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·6.466 + 3.679 = 13.38 N

答案

T = 13.38 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.65 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·150/sin 100°) = 38.65 m/s

答案

v₀ = 38.65 m/s

6.抛体运动

答案: t = 5.273 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16.38 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 16.38·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.38 + √(268.4 + 981))/9.81 = 5.273 s

答案

t = 5.273 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·80) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 275.6 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·8²/0.5 = 19.62 + 256 = 275.6 N

答案

T = 275.6 N

9.功和能

答案: h = 8.155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 4/0.4905 = 8.155 m

答案

h = 8.155 m

10.功和能

答案: v = 6.457 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.25·3.5) = 41.69 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.125) = 6.457 m/s

答案

v = 6.457 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 140795 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·17/3900 = 8.718 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·17² = 289000 J

K_after = ½·3900·8.718² = 148205 J

损失的能量

ΔK = 289000 − 148205 = 140795 J

答案

ΔK = 140795 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 49.41 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·25) = 18.53 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·18.53/1200 = 49.41 m/s

答案

v₁ = 49.41 m/s

(177.9 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.419 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.5/9.81) = 1.419 s

答案

T = 1.419 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 83.33 m/s²

角频率

ω = √(500/0.9) = 23.57 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.15·23.57² = 83.33 m/s²

答案

a_max = 83.33 m/s²

15.波、声与光学

答案: h_i = −8.333 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66.67 cm

放大率与像高

m = −66.67/40 = −1.667

h_i = −1.667·5 = −8.333 cm

答案

h_i = −8.333 cm

16.波、声与光学

答案: d_i = −3.75 cm

焦距

f = −R/2 = −5 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/15

d_i = −3.75 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −3.75 cm

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